Розділ 2 Використання методів навчання при вивченні деяких змістових ліній курсу алгебри І початків аналізу. „Елементарні функції”, “Похідна та її застосування”




Скачати 284.98 Kb.
НазваРозділ 2 Використання методів навчання при вивченні деяких змістових ліній курсу алгебри І початків аналізу. „Елементарні функції”, “Похідна та її застосування”
Сторінка2/3
Дата конвертації09.03.2013
Розмір284.98 Kb.
ТипДокументы
uchni.com.ua > Астрономія > Документы
1   2   3
§4. ЧАСТКОВО-ПОШУКОВИЙ МЕТОД

Цей метод вимагає майже самостійної роботи учнів, а вчитель лише спрямовує мислення учнів до певних висновків.

Цим методом краще користуватись, коли необхідно закріпити пройдений матеріал чи певну тему, або для перевірки підготовленості учнів до вивчення певної теми.

Розглянемо використання методу на прикладі вивчення періодичності функції.

Варто наступним чином розпочати урок.

Вчитель повинен показати, які процеси існують в математиці чи фізиці і як вони можуть повторюватись. Це може бути обертання Місяця навколо Землі, коливання маятника в годиннику, повторення значень функції через певний крок та інше.

Спочатку можна намалювати схематично графік і показати учням, що через певний крок значення функції є однаковими, і немає значення в якому напрямку ми будемо рухатись по осі OX.
Потім можна намалювати учням графік вже відомої їм функції .

Учні помічають, що значення функції повторюються через .

Вчитель звертає увагу на те, що функція має те саме значення і в точці , і в точці , і в точці , , і мінімальне число, яке додається до значення аргументу, називається періодом, позначають його буквою Т.

Учні повинні спробувати вже сформулювати означення періодичної функції, хоча вчитель може допомагати.

Означення. Функція називається періодичною з періодом Т, якщо для довільного з області визначення значення функції в точках x, x+Т, x-Т рівні. Тобто .

Потім переходять до розв’язування прикладів.

§5. ДОСЛІДНИЦЬКИЙ МЕТОД

Цим методом користуються вже на певному етапі навчання учнів, коли учні вже здатні логічно мислити, робити самостійні висновки. Також це корисно для розвитку логічного мислення. Користування цим методом покращує працездатність учнів і викликає в них зацікавленість, розвиває самостійність в дослідженні певних закономірностей чи властивостей певних об’єктів.

Розглянемо цей метод на прикладі дослідження функції з використанням похідної.
Приклад1. Дослідити функцію і побудувати її графік: .

Розв’язування

1) Область визначення функції - множина дійсних чисел, бо функція є многочленом.

2) Функція не є ні парною ні непарною, бо і область визначення функції симетрична відносно початку координат.

3) Має точку перетину з віссю : при , тобто точка з координатами .

4) Має точки перетину з віссю :
;
;
або . Тобто точки з координатами , .

5) Знаходимо максимуми і мінімуми функції.

Знайдемо критичні точки. Для цього знайдемо першу похідну функції: .

Прирівнявши похідну до нуля отримаємо три критичні точки:
х= -1, х= 0, х= 1.

Знайдемо серед них точки максимуму і мінімуму.

При переході через точку х= -1 похідна змінює знак з “+” на “-” – точка максимума, а при переході через точку х=1, похідна змінює знак з “-” на “+” – точка мінімума. А при переході через точку х=0 – не міняє знаку.

6) Дослідимо функцію на точки перегину:

.

;

;

або - отримали точки підозрілі на точки перегину.
Учні складають таблицю:

X

(-;-1)

-1

(-1;0)

0

(0;1)

1

(1;)



+

0



0



0

+



Зростає

2

спадає

0

спадає

-2

зростає







MAX










MIN





З таблиці видно, що функція має максимум в точці і мінімум в точці .

Будуємо сам графік використовуючи отримані дані з таблиці. Спочатку учні відмічають на графіку точки максимуму і мінімуму, точки перетину з осями, а потім будують графік даної функції.
Приклад2.За даним рівнянням руху авто знайти його швидкість (при t = 2 сек.) ; момент часу, коли авто почало рухатись в зворотному напрямку та відстань, на яку воно відійшло від деякого пункту (початок руху) до розвороту.

Розв’язання

Бажано спочатку намалювати графік руху авто, це спростить розв’язування задачі, та дасть можливість зрозуміти, яким чином рухалось авто.

З умови задачі видно, що .

Знаходимо точки перетину графіка функції з віссю ОХ: t3 - 4t = 0;
t = 0, t = ± 2. (t = -2 не розглядаємо, бо час t >0).

Знаходимо точки екстремуму функції:
; 3t 2 – 4 = 0; t = .

Значення - не задовольняє умові . Перевіримо як змінює знак похідна при переході через точку .

При переході через цю точку, похідна змінює свій знак з “–” на “+”, тобто це точка мінімуму.

Малюємо малюнок.

З малюнку видно, що в момент часу t = авто знаходилось на максимальній відстані від деякого пункту (хоч і рухалося в зворотному напрямку).

Тому в момент часу t = авто змінило напрям руху.

Відстань в цей момент була: =.

(стоїть модуль, бо відстань повинна бути додатна).

Похідна від відстані це є швидкість, яку ми вже знайшли: , тому через 2 секунди після початку руху авто мало швидкість м/с.

§6 . МЕТОД ДОЦІЛЬНИХ ЗАДАЧ

В багатьох випадках , в певних темах цей метод застосовується не дуже часто, але при продовженні деякої теми, чи при вивченні теми з розв’язання практичних задач краще скористатися ним, тоді в учнів при вивченні теми буде повніше розуміння вивченого матеріалу. Як вже було вище сказано, суть методу в тому, що розгляд нової теми розпочинається з наведення деяких прикладів, що можуть допомогти учням краще орієнтуватися в тому, про що йде мова в даній темі, або протягом уроку посилатися на деякі з них.

Розглянемо його використання на прикладі вивчення теми “Функції та їх графіки”.

Вчитель на початку уроку, але вже після означення поняття функції, може наводити приклади, будувати з учнями графіки, а потім на основі графіків вивести певні закономірності їх побудови і запропонувати учням використовувати ці закономірності при подальшому розв’язуванні прикладів.

Побудуємо графіки таких елементарних функцій:
Мал. 16 Мал. 17 Мал.18
Учні помічають, що другий графік (Мал. 17.) зсунутий на 2 одиниці вправо, а в формулі стоїть знак мінус перед цією цифрою. Третій графік (Мал. 18.) відрізняється від другого тим, що не тільки зсунутий по осі OX, а й по осі OY – на 1, але тут вже спостерігається відповідність знаку.

Після розглядання цих прикладів учні можуть сформулювати основні правила побудови графіків не тільки степеневих функцій, а і графіків довільних функцій.

Запишемо загальний вигляд функції: (, ).

Для побудови графіку довільної степеневої функції необхідно:

  1. побудувати графік функції ;

  2. зсунути його на a значень вліво (напрямок обирають протилежно до знаку a), при - вліво, при - вправо;

  3. зсунути на b значень вгору (відповідність зі знаком), при - вгору, при - вниз;

  4. стиснути в k разів до осі . (кожне значення функції стає в k раз більше).

Доцільно після цього дати учням побудувати графік деякої функції за точками., а коли вони його побудують, то показати простіший спосіб побудови графіка, за допомогою зміщення деякого відомого графіку по осям координат та стиснення його в разів.

Так само і для тригонометричних функцій. Тригонометричні функції викликають в учнів більший інтерес при побудові, особливо при розгляданні додавання та множення графіків.

§7. АБСТРАКТНО-ДЕДУКТИВНИЙ І КОНКРЕТНО-ІНДУКТИВНИЙ МЕТОДИ

Конкретно-індуктивний метод є природним розширенням і удосконаленням методу доцільних задач. За словами К.Ф.Лебединцева, цей метод краще підходить для застосування в шкільному навчанні. Метод чимось нагадує проблемний виклад - вчитель пропонуючи розв’язати певний приклад, ставить перед класом невелику проблемну ситуацію, а розв’язуючи цей приклад робить висновок чи дає означення.

При використанні абстрактно-дедуктивного методу, вчитель повідомляє тему уроку, дає означення, формулює теореми, а вже після викладу теорії переходить до практичних завдань. Учні починають розв’язувати приклади, доводити твердження на основі вивчених означень чи властивостей певних об’єктів, тим самим засвоюючи новий матеріал.

Розглянемо застосування абстрактно-дедуктивного методу на прикладі вивчення теми: “Застосування похідної до дослідження функцій”.

Вивчення починається з пригадування геометричного змісту похідної, лише потім можна перейти до вивчення нової теми.
Геометричний зміст: Похідна функції f(x) в точці х0 дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до кривої з додатним напрямом осі ОХ у точці з абсцисою х0.

Тангенс кута нахилу дотичної називають кутовим коефіцієнтом

Функція може зростати чи спадати на деякому проміжку (можна намалювати малюнок).





Означення. Функція f(x) – називається зростаючою на проміжку , якщо для довільного x(а; b) , що x1 x2 виконується нерівність
f (x1)  f (x2).

Означення. Функція f(x) – називається спадною на проміжку , якщо для довільного x(а; b) , що x1 x2 виконується нерівність
f (x1)  f (x2).

Далі в звичайних класах формулюються ознаки зростання та спадання функції. При доведенні ознак використовується формула Лагранжа, тому в класах з поглибленим вивченням математики можна спочатку довести теорему Лагранжа.
Теорема Лагранжа. Якщо функція f(x) неперервна і диференційовна на а; b, та існує точка с(а, b), то f(а)-f(b)=f /(с)(b-а).

Доведення

Розглянемо функцію f(x) що визначена на проміжку а, b та візьмемо  точку с, що с(а, b).

Дотична до графіка функції f (x) утворює кут  з додатнім напрямком осі ОХ.

Кут  - подібний куту ВАD.

ΔВАD – прямокутний, тому =tg()=f /(x).

Так як ВD=f(b)-f(а), а АD=b-а, тому
f /(c)= - формула Лагранжа.

Далі розглядаються ознаки зростання та спадання функції.

Ознака зростання функції:

Якщо функція f(x) неперервна і диференційовна в кожній точці інтервалу (x1; x2) і f /(x)  0 на цьому інтервалі, то функція зростає.

Ознака спадання функції:

Якщо функція f(x) неперервна і диференційовна в кожній точці інтервалу (x1; x2) і f /(x)  0 на цьому інтервалі, то функція спадає.

Доведення цих ознак можна провести в класах з математичним нахилом.

При доведенні використовується теорема Лагранжа.

Розв’язується приклад.

Приклад.

Як веде себе функція f(x)=x2-8x+12 на проміжках (-; 4)(4; +).

Дослідження. Знайдемо похідну, критичні точки та дослідимо функцію на кожному з отриманих проміжків: f /(x)=2x-8; тобто x=4 і це є критична точка. На проміжку (-; 4) похідна має від’ємний знак, тому функція спадає, а на проміжку (4; +) похідна має додатній знак, тому функція на цьому проміжку зростає.

Ми отримали точку х=4, переходячи через яку похідна змінює знак , тобто в цій точці дотична паралельна осі ОХ, а це може бути лише в найвищій або в найнижчій точці. Таку точку називають точкою екстремуму. Похідна функції в цій точці дорівнює нулю, тобто кутовий коефіцієнт рівний нулю.

Точки максимумів та мінімумів функції називають – екстремальними точками.

Означення. Внутрішні точки області визначення функції в яких похідна рівна нулю або не існує – називаються критичними точками.

Формулюється Н еобхідна умова існування екстремуму функції в точці. (Терема Ферма)

Якщо функція f(x) - неперервна і диференційовна на (а, b) і в точці x0 має екстремум, то похідна функції в цій точці рівна нулю.
Переходимо до розв’язування прикладів.

Дослідити на екстремуми функцію:

  1. f(x)=2х3-9х2+12х-8.

f /(x)=6х2-18х+12;

f /(x)=0;

2-18х+12=0;

х2-3х+12=0;

х1=1; х2=2.

Наносимо критичні точки на координатну вісь і перевіряємо знак на кожному з отриманих проміжків.

f /(1)= -3; - максимум функції

f /(2)= -4. – мінімум функції.

§8. ПРОГРАМОВАНЕ НАВЧАННЯ

Програмоване навчання використовується дуже часто, особливо цей метод використовують для написання самостійних робот, контрольних, під час складання іспитів. Використовують для контролю знань і іноді для проведення уроків, щоб підвищити увагу та зацікавленість учнів, коли вчитель спеціально заготовлює програмовані завдання до тієї теми, яку важче розуміють учні. Таким чином цей метод може покращувати рівень знань учнів.

Розглянемо деякі приклади завдань, що використовуються на вступних іспитах, на шкільному випускному іспиті, та на контрольних роботах.
Визначити парність (непарність) функції:

1)

а) парна, б) непарна, в) інша відповідь.

(вірно – парна, бо - парна функція,- парна ).

2)

а) парна, б) непарна, в) інша відповідь.

(вірно – інша відповідь, бо синус непарна функція, а косинус - парна).
Знайти область визначення функції:

1) ;

а) , б) , в) інша відповідь.

Розв’язання. ОДЗ: .
,
,
. Розглянемо отримані проміжки, і виберемо з них ті, що задовольняють ОДЗ. Тобто .

(вірно - ).

2) ;

а) , б) , в) інша відповідь.

Розв’язання. Підлогарифмічний вираз завжди додатній, а знаменник не рівний нулю.

,

,



Нанесемо значення на числову вісь, і відшукаємо проміжки, які задовольняють нашим умовам. Нас задовольняють лише значення .

(вірно - ).

Який з даних графіків відповідає функції:

1) ?




Вірна відповідь б). В цьому прикладі використовується знання формул зведення, тому учні повинні побачити, згадати і оцінити: чверть – перша, знак – додатній, функція – змінює назву, тому графіком буде косинус.
2) .



Вірна відповідь – а), бо за властивістю логарифма, підлогарифмічний вираз не може бути від’ємний, а в б) – ця умова порушується, або видно з запису функції, що графік повинен бути зсунутий на одиницю вправо по осі ОХ – це перший графік.

^ Знайти найменше значення функції:
;
а) 0; б) ; в) інша відповідь.

Розв’язання. Оскільки функція приймає найменше значення , то загальне значення даної функції буде , тобто варіант відповіді – інша відповідь.
^ Знайти найбільше значення функції:

;

а) –2; б) 2; в) інша відповідь.

Розв’язання. Найбільше значення самої функції це 1, а тому враховуючи множник перед функцією, він від’ємний, виходить, що найбільше значення буде при найменшому значенні , тобто максимум дорівнює 2.
^ Знайти область значень функції:

;

а) ; б) ; в) інша відповідь.

Розв’язання. Оскільки функція має значення, що містяться в проміжку -1;1 , то враховуючи множник це буде проміжок , та ще всі значення будуть збільшені на 1, тобто в кінцевому результаті отримаємо проміжок - вірна відповідь а).

1   2   3

Схожі:

Розділ 2 Використання методів навчання при вивченні деяких змістових ліній курсу алгебри І початків аналізу. „Елементарні функції”, “Похідна та її застосування” iconМетодрозробки
Методична мета: ”Використання активних форм І методів навчання при вивченні нового матеріалу”
Розділ 2 Використання методів навчання при вивченні деяких змістових ліній курсу алгебри І початків аналізу. „Елементарні функції”, “Похідна та її застосування” iconУрок однієї формули. Розв’язування вправ з теми: «Співвідношення...
Посібник для використання знань з тригонометрії в курсі алгебри та початків аналізу в профільному класі
Розділ 2 Використання методів навчання при вивченні деяких змістових ліній курсу алгебри І початків аналізу. „Елементарні функції”, “Похідна та її застосування” iconОрієнтовне тематичне поурочне планування з алгебри І початків аналізу для 11 класу

Розділ 2 Використання методів навчання при вивченні деяких змістових ліній курсу алгебри І початків аналізу. „Елементарні функції”, “Похідна та її застосування” iconКонспект уроку алгебри та початків аналізу в 10 класі. Тема уроку:...
Навчальна мета: Вчитися застосовувати набуті знання до практичного розв’язування вправ, стимулювати учнів до вибору І самостійного...
Розділ 2 Використання методів навчання при вивченні деяких змістових ліній курсу алгебри І початків аналізу. „Елементарні функції”, “Похідна та її застосування” iconУ разі сумісного вивчення алгебри І початків аналізу та геометрії...
Рівень стандарту. У разі сумісного вивчення алгебри І початків аналізу та геометрії у 10-му класі розподіл навчального часу на вивчення...
Розділ 2 Використання методів навчання при вивченні деяких змістових ліній курсу алгебри І початків аналізу. „Елементарні функції”, “Похідна та її застосування” iconУроку
Границя функції в точці. Похідна функції в точці. Похідна функції, її геометричний зміст І фізичний зміст
Розділ 2 Використання методів навчання при вивченні деяких змістових ліній курсу алгебри І початків аналізу. „Елементарні функції”, “Похідна та її застосування” iconЛ. М. Синєгубенко
Сучасні методи впровадження візуальних методів навчання при вивченні холодильних дисциплін
Розділ 2 Використання методів навчання при вивченні деяких змістових ліній курсу алгебри І початків аналізу. „Елементарні функції”, “Похідна та її застосування” icon«Опорно-рухова система людини» 17
Побудовані листи опорних сигналів (лос) представлені для використання при вивченні курсу біології
Розділ 2 Використання методів навчання при вивченні деяких змістових ліній курсу алгебри І початків аналізу. „Елементарні функції”, “Похідна та її застосування” icon§ Засоби навчання на уроці іноземної мови. 5
Методика використання технічних засобів навчання при вивченні англійської мови 15
Розділ 2 Використання методів навчання при вивченні деяких змістових ліній курсу алгебри І початків аналізу. „Елементарні функції”, “Похідна та її застосування” iconКалендарно тематичне планування з алгебри І початків аналізу
Усього 105 год, І семестр — 48год, 3 год на тиждень, II семестр — 57год, 3 год на тиждень
Додайте кнопку на своєму сайті:
Школьные материалы


База даних захищена авторським правом © 2014
звернутися до адміністрації
uchni.com.ua
Головна сторінка