4. 1 Різні види рівнянь прямої на площині




Скачати 62.24 Kb.
Назва4. 1 Різні види рівнянь прямої на площині
Дата конвертації16.07.2013
Розмір62.24 Kb.
ТипДокументы
uchni.com.ua > Астрономія > Документы
3. Поняття про лінію та її рівняння.



  1. Рівняння F(x, y)=0 називається рівнянням лінії , яка задана на площині відносно системи координат, якщо це рівняння задовольняють координати x та y кожної точки лінії .




  1. Рівняння Ф()=0 називається рівнянням лінії в полярних координатах, якщо його задовольняють координати і будm-якої точки лінії .




  1. Нехай залежність між змінними x і y вираженя через третю зміну t, тобто


x=x (t); y=y(t).
Змінна t називається параметром і визначає положення точки на площині.

Якщо t змінюється, то точка на площині переміщується, описуючи деяку лінію l. Такий спосіб задання лінії називається параметричним, а наведені вище рівняння – параметричні рівняння лінії l.

Алгебраїчні лінії розрізняються залежно від їх порядку. Ми будемо вивчати лінії першого та другого порядку.

^ 4. Пряма на площині.

4.1 Різні види рівнянь прямої на площині.

Пряма на площині геометрично може бути задана різними способами: точкою і вектором, паралельним даній прямій; двома токами; точкою і вектором, перепендикулярним до даної прямої, тощо.

Різним способам завдання прямої відповідають у прямокутній системі координат різні види її рівнянь.
1) Аx+Вy+С=0 – загальне рівняння.


(А,В) – координат вектора нормалі до прямої

С – вільний член.

а) С=0 Аx+Вy=0 – пряма проходить через початок координат;

б) В=0 А≠0; С≠0; Аx+С=0, або x= - пряма // осі ОУ;


с) В=0; А≠0; С=0 Аx=0 або х=0 – рівняння осі ОУ;
d) А=0; В≠0; С≠0; Вy+С=0 або у=b - пряма //осі OX;


е) А=0; В≠0; с=0; Вy=0 або у=0 – рівняння осі ОХ.

2) А≠0; В≠0; С≠0
Вy=-С-Аx; все поділимо на В;
або у=Кx+b, де
. ^ Це рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

В цьому рівнянні

– кутовий коефіцієнт прямої

=tg ( - кут, який утворює пряма з додатним напрямом осі ОХ.)

b – велична відрізка, що його відтинає пряма на осі ОУ.

3) А(х-хо)+(у-уо)=0 – рівняння прямої, що проходить через задану точку Мооуо), перпендикулярно до нормального вектора



4) - рівняння прямої, що проходить через точку Mооуо) паралельно напрямку вектору . ^ Це канонічне рівняння прямої.

параметричні рівняння прямої, де tє(-∞;∞)

У векторній формі ці рівняння

мають вигляд:




6) - рівняння прямої, що проходить через дві задані точки M11у1) і M22у2)




7) - рівняння прямої в відрізках на осях; а і в – відрізки, що їх відтинає пряма на координатах осях 0Х та 0У.



8) - нормальне рівняння прямої, де p>0 – довжина перпендикуляра, проведеного з початку координат на пряму. -кут нахилу цього перпендикуляру до осі 0Х.

- нормувальний множник.


Приклади:

Задані точки M1(1;2) і M2(-1;0). Записати рівняння прямої, та привести його до різних виглядів. Побудувати пряму:

Розв‘язок.

Запишемо рівняння прямої, яка проходе через дві точки



Зробивши арифметичні дії у знаменику, отримаємо канонічне рівняння прямої з нормальним вектором .

Розкривши отриману рівність як пропорцію, отримаємо рівняння у вигляді «з кутовим коефіцієнтом».

y=x+1 ; .

Зразу же отримаємо рівняння в загальному вигляді x-y+1=0; Координати напрямного вектора .

Приведемо останнє рівняння до вигляду «в відрізках на осях»


Знайдемо нормувальний множник:


Т.як. с =1, то Одержимо
- відстань до початку координат.

^ 2.2 Кут між прямими.

Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих.

а) Нехай прямі l1 і l2 задані канонічними рівняннями:






і φ – кут між цими прямими 0< φ<П. Оскільки векториє напрямними векторами даних прямих, то за формулою векторної алгебри

Якщо прямі l1 і l2 паралельні, то теж паралельні, тому їх координати пропорційні, тобто

- умова паралельності прямих.

Якщо прямі l1 і l2 перпендикулярні, то теж перпендикулярні і їх сумарний добуток дорівнює нулю, отже

m1 . m2 + n1 . n2=0 – умова перпендикулярності прямих.
б) Нехай тепер прямі l1 і l2 задані загальними рівняннями.

А1х + В1у + С1 = 0 і А2х + В2у + С2 = 0.




Тоді кут φ між цими дорівнює куту між їх нормальними векторами
та . Тоді

1)
2) - умова паралельності l1 і l2
3) А1 А2 + В1 В2 = 0 - умова перпендикулярності l1 і l2
в) Нехай прямі l1 і l2 задані рівняннями з кутовими коефіцієнтами:



З рисунка видно, що

;

а) .

Зауважимо, що формула містить кут, на який треба повернути пряму ℓ1 (проти годинної стрілки), щоб вона збіглася з прямою ℓ2.

б) умова паралельності

(φ=0 и tgφ=0) ℓ1 та ℓ2

В) умова ℓ1┴ℓ2

( φ=; , тобто 1+К1 . К2=0 )



    1. Відстань від точки до прямої.


Нехай задамо пряму ℓ рівнянням Аx+Вy+С=0 і точку М0(x0;y0).

Відстань d точки М0 від прямої ℓ дорівнює модулю проекції вектора , (де М1(x1;y1) – довільна точка прямої ℓ) на напрям нормального вектора =(А;В).







Так як , то


Приклад.

Розв‘язок.

Знайти площу квадрата , дві сторони якого лежать на прямих 4х-3у-10=0 і 8х-6у+15=0.

Оскільки заданні прямі паралельні, то довжину d сторони квадрата можна знайти як відстань від довільної точки однієї прямої до другої прямої.

Знайдемо яку-небудь точку на першій прямій. Нехай x=1, тоді 2 . 1-3у-10=0; у=-2.

Отже, точка М0(1;-2) належіть першій прямій. Тоді знайдемо відстань від т. М0 до другої прямої



Площа квадрату S=d2=ед.2.


Схожі:

4. 1 Різні види рівнянь прямої на площині iconВиди насильства та їх класифікація
Жорстоке поводження з дітьми та зневажання їх інтересами можуть мати різні види та форми, але наслідком цього завжди є
4. 1 Різні види рівнянь прямої на площині iconТема 16-17: Методи накладання пов’язок на голову, груди, плече, живіт, верхні та нижні кінцівки
Мета: доповнити уявлення про різні види пов’язок, які накладаються на різні частини тіла
4. 1 Різні види рівнянь прямої на площині iconРозв‘язування системи нелінійних рівнянь
Крім оптимізаційних задач, засіб Пошук рішення дозволяє також знаходити рішення систем нелінійних рівнянь. Продемонструємо, як це...
4. 1 Різні види рівнянь прямої на площині icon10 клас академічний рівень
Розв'язування геометричних задач за допомогою складання рівнянь чи систем рівнянь
4. 1 Різні види рівнянь прямої на площині iconУрок №6. Тема
Практична робота №3. Знаходження наближених значень розв’язків рівнянь І систем рівнянь
4. 1 Різні види рівнянь прямої на площині icon«Розладами дош породжуються різні види хвороб І не виникають без їх розладу» [Шарірастхана 34]

4. 1 Різні види рівнянь прямої на площині icon«Затверджую» Директор знз№14
Створення «Антології літературних творів про професії та різні види трудової діяльності»
4. 1 Різні види рівнянь прямої на площині iconМетодичні рекомендації до вивчення теми ( 7 клас, 9 годин)
Розв’язування лінійних рівнянь та рівнянь, що зводяться до лінійних. Самостійна робота
4. 1 Різні види рівнянь прямої на площині iconПідсумковий урок з геометрії у 9 класі по темі «Декартові координати та рухи на площині»
«Декартові координати та рухи на площині». Розвиваюча: розвивати логічне мислення. Виховна: виховувати доброзичливе ставлення до...
4. 1 Різні види рівнянь прямої на площині iconДмитро мирон: повернення у слові
Останнє десятиріччя для України головно стало десятиріччям випробувань. Випробувань на перспективність І життєздатність нації І держави...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Школьные материалы


База даних захищена авторським правом © 2014
звернутися до адміністрації
uchni.com.ua
Головна сторінка