Практичні заняття 4, 5 Практичне заняття №4




НазваПрактичні заняття 4, 5 Практичне заняття №4
Сторінка1/2
Дата конвертації31.01.2014
Розмір0.54 Mb.
ТипДокументы
uchni.com.ua > Фізика > Документы
  1   2
Математичні задачі енергетики

Частина 1. Моделювання та аналіз усталених режимів роботи

електроенергетичних систем

Практичні заняття 4, 5

Практичне заняття № 4
Розв’язання системи лінійних рівнянь

усталеного режиму роботи електричної мережі.

Метод Гауса
Мета заняття: набуття практичного досвіду розв’язання систем лінійних рівнянь усталеного режиму роботи електричної мережі методом Гауса.
4.1. Порядок виконання практичного заняття


  1. Ознайомитись з теоретичним матеріалом по темі заняття;

  2. Скласти систему лінійних рівнянь усталеного режиму у формі балансу струмів з комплексними невідомими і коефіцієнтами для заданої схеми електричної мережі.

Використовувати матеріали Практичного заняття № 3;

  1. Розв’язати складену систему рівнянь методом Гауса із зворотнім ходом;

  2. Перевірити правильність розв’язання системи рівнянь;

  3. Виконати інженерний аналіз отриманих результатів;

  4. Підготувати відповіді на контрольні питання.


4.2. Стислі теоретичні відомості
Усталений режим роботи електричної мережі, у вузлах якої задані постійні струми, описується системою лінійних рівнянь виду (3.1), (3.2). Невідомими величинами в ній є напруги у вузлах мережі Ui, коефіцієнтами при невідомих – взаємні та власні провідності вузлів Yij і Yii.

Для розв’язання таких систем рівнянь застосовують зазвичай прямі методи. Один з них – метод Гауса, передбачає послідовне перетворення вихідної системи рівнянь з квадратною матрицею коефіцієнтів у еквівалентну систему з трикутною матрицею коефіцієнтів. Розв’язання еквівалентної системи рівнянь дає розв’язок вихідної системи.

Класичний метод Гауса передбачає виконання двох основних етапів: прямого і зворотного ходу. Прямий хід – послідовність однотипних кроків виключення невідомих (напруги ) із рівнянь системи (3.1).

На першому кроці виконуються еквівалентні перетворення рівнянь системи, в результаті яких невідома U1 виключається із усіх рівнянь, починаючи з другого. Наприклад, для виключення U1 з другого рівняння, це рівняння можна помножити на у11, перше помножити на у21 і скласти їх. Для виключення U1 із третього і четвертого рівнянь виконуються аналогічні перетворення. Перше рівняння залишається без змін. В результаті вихідна система (3.1) набуває вигляду:

(4.1)

Тут нові значення коефіцієнтів при невідомих і вільні члени рівнянь, обчислені в ході перетворень.

На другому кроці виключення невідомих виключається U2 із рівнянь, починаючи з третього і т.д. У результаті виконання (n-1)-го кроку виключення вихідна система (3.1) або (3.2) з квадратною матрицею коефіцієнтів перетворюється на еквівалентну систему рівнянь з трикутною матрицею коефіцієнтів при невідомих:

(4.2)

На кожному кроці виключення невідомих спосіб еквівалентних перетворень системи рівнянь може бути довільним. Наприклад, перерахунок коефіцієнтів і вільних членів системи рівнянь можна виконувати за формулами:

; (4.3)

,

де ─ номер кроку виключення невідомих. Збігається з номером рівняння системи, в якому розміщений опорний елемент ; ─ номер рівняння, із якого виключається невідоме;

─ номер елемента в рівнянні; ─ коефіцієнти при невідомих; – вільні члени рівнянь.
Зворотний хід – розв’язання системи (4.2) і обчислення значень усіх невідомих, починаючи з .

Із останнього рівняння системи (4.2) отримуємо:

.

Підставляємо його в передостаннє рівняння системи (4.2.) і обчислюємо і т. д. Послідовно визначаємо із решти рівнянь. Загальна формула при цьому має вигляд:

(4.4)
При підстановці правильно обчислених значень невідомих у вихідну систему (3.1), всі її рівняння перетворюються на тотожності.


    1. Приклад виконання завдань практичного заняття


Система комплексних нелінійних рівнянь усталеного режиму у формі балансу струмів була складена на Практичному занятті № 3:
= + ; – + – 0 – 0 = ; – – 0 + – 0 = + ;

– 0 – 0 + = ,
або

(0,3544 – j0,5288) – (0,1111 – j0,1518) – (0,1393 – j0,1899)

– (0,0017 – j0,0343) = - (3 – j2)/ + (0,1034 – j0,1756)·115;

– (0,1111 – j0,1518) + (0,1111 – j0,1518) = - (5 – j2)/ ;

– (0,1393 – j0,1899) + (0,2254 –j0,3362) = - (4 – j3)/ +

+ (0,0861 – j0,1463)·115;

  1. (0,0017 – j0,0343) + (0,0051 – j0,1025) = - (1 – j0,3)/ .


При заданих у вузлах постійних потужностях рівняння системи нелінійні. Лінійні рівняння отримуємо при завданні у вузлах постійних струмів Іі = сonst ( i = 1, 2, 3, 4). Для переходу до струмів і, відповідно до лінійних рівнянь, обчислимо приблизні значення вузлових струмів при заданих потужностях і номінальній напрузі. Праві частини рівнянь системи набувають значень:

Система лінійних рівнянь усталеного режиму у формі балансу струмів набуває вигляду:
= ;

+ – 0 – 0 = ;

– 0 + – 0 = ;

– 0 – 0 + = ,
або

(0,3544 – j0,5288) – (0,1111 – j0,1518) – (0,1393 – j0,1899)

– (0,0017 – j0,0343) = ;

– (0,1111 – j0,1518) + (0,1111 – j0,1518) = ;

– (0,1393 – j0,1899) + (0,2254 –j0,3362) = ;

- (0,0017 – j0,0343) + (0,0051 – j0,1025) = .
Систему рівнянь розв’язуємо методом Гауса із зворотнім ходом.
І. Прямий хід методу Гауса.

Необхідно виконати три кроки виключення невідомих.

На першому кроці перетворюємо рівняння 2, 3 і 4 системи так, щоб

виключити із них невідому U1.

Виключаємо U1 із другого рівняння.

Домножаємо перше рівняння на У21 = -(0,1111 – j0,1518):

-(0,1111–j0,1518)(0,3544–j0,5288) +(0,1111–j0,1518) (0,1111–

-j0,1518) +(0,1111–j0,1518)(0,1393–j0,1899) +(0,1111–j0,1518)(0,0017–j0,0343) = -(0,1111 – j0,1518)( ),

або

(0,0409+0,1125) -(0,0107+j0,0337) -(0,0134+j0,0422) -

-(0,0050+j0,0041) = 1,7446+j4,0424.

Домножаємо друге рівняння на У11 = 0,3544–j0,5288:

–(0,3544–j0,5288)(0,1111–j0,1518) +( 0,3544–j0,5288)(0,1111-j0,1518) =

=( 0,3544–j0,5288)( ),

або

(0,0409+0,1125) - (0,0409+j0,1125) =-0,0065+j0,0305.

Віднімаємо ці рівняння. Отримуємо перетворене друге рівняння, із якого виключена перша складова, що містить невідому :

0 + (0,0302+j0,0788) - (0,0134+j0,0422) -(0,005+j0,0041) =

= 1,7511+j4,0119.
Виключаємо із третього рівняння системи. Домножаємо перше рівняння на У31 = -(0,1393 – j0,1899):

-(0,1393–j0,1899)(0,3544–j0,5288) +(0,1393–j0,1899) (0,1111– j0,1518)

+(0,1393–j0,1899)(0,1393–j0,1899) +(0,1393– j0,1899)(0,0017–j0,0343)

= - (0,1393 – j0,1899)( ),

або

(0,0511+j0,1410) -(0,0134+j0,0422) -(0,0167+j0,0529) -

-(0,0063+j0,0051) = 2,1788+j5,0634.
Домножаємо третє рівняння на У11 = 0,3544–j0,5288:

–(0,3544–j0,5288)(0,1393–j0,1899) +(0,3544–j0,5288)(0,2254–j0,3362) = = (0,3544–j0,5288)( ),

або

(0,0511+j0,1410) -(0,0979+j0,2383) =-(5,3862+j11,1696).

Віднімаємо ці рівняння. Отримуємо перетворене третє рівняння, із якого виключена перша складова, що містить невідому :

0 - (0,0134+j0,0422) +(0,0812+j0,1854) -(0,0063+j0,0051) =

= 7,5650+j16,2330.

Виключаємо із четвертого рівняння системи. Домножаємо перше рівняння на У41 = -(0,0017– j0,0343):

-(0,0017–j0,0343)(0,3544–j0,5288) +(0,0017–j0,0343)(0,1111– j0,1518) +(0,0017–j0,0343)(0,1393–j0,1899) +(0,0017–j0,0343) (0,0017–j0,0343) = -(0,0017– j0,0343)( ),

або

(0,0175+j0,0131) -(0,005+j0,0041) -(0,0063+j0,0051) -

-(0,0012+j0,0001) = 0,6719+j0,4412.

Домножаємо четверте рівняння на У11=0,3544–j0,5288:
-(0,3544–j0,5288)(0,0017–j0,0343) +( 0,3544–j0,5288)(0,0051–j0,1025) = =(0,3544–j0,5288)( ),

або

(0,0175+j0,0131) - (0,0524+j0,0393) = -0,0056 + j0,0182.

Віднімаємо ці рівняння. Отримуємо перетворене четверте рівняння, із якого виключена перша складова, що містить невідому :

0 - (0,005+j0,0041) - (0,0063+j0,0051) + (0,0512+j0,0392) =

= 0,6775 + j0,4230.
В результаті виконання першого кроку виключення невідомих ( ), отримуємо еквівалентну систему рівнянь:

= ;

0 + = ;

0 – + = ;

0 – + = ,
або


(0,3544 – j0,5288) – (0,1111 – j0,1518) – (0,1393 – j0,1899)

– (0,0017 – j0,0343) = ;

0 + (0,0302+j0,0788) - (0,0134+j0,0422) -

- (0,0050+j0,0041) = 1,7511+j4,0119;

0 - (0,0134+j0,0422) + (0,0812+j0,1854) -

- (0,0063+j0,0051) = 7,5650+j16,2330;

0 - (0,0050+j0,0041) - (0,0063+j0,0051) +

+ (0,0512+j0,0392) = 0,6775 + j0,4230.

Другий крок виключення невідомих.

Перетворюємо рівняння 3 і 4 еквівалентної системи так, щоб виключити з них невідому .

Виключаємо із третього рівняння. Для цього друге рівняння домножаємо на -0,0134-j0,0422:

-(0,0134+j0,0422)( 0,0302+j0,0788)U2 +(0,0134+j0,0422)(0,0134+

+j0,0422) +(0,0134+j0,0422)(0,0050+j0,0041) =

=-(0,0134+j0,0422)( 1,7511+j4,0119),

або

0 - (-0,0029+j0,0023) -(0,0016-j0,0011) +(-0,0001+j0,0003) =

=-(-0,1458+j0,1277).
Домножаємо третє рівняння еквівалентної системи на

0,0302+j0,0788:

-(0,0302+j0,0788)(0,0134+j0,0422) +(0,0302+j0,0788)(0,0812+j0,1854) -

-(0,0302+j0,0788)(0,0063+j0,0051) =(0,0302+j0,0788) (7,5650+j16,2330),

або

0 - (-0,0029+j0,0023) +(-0,0122+j0,0120) -(-0,0002+j0,0007) =

=-1,0507+j1,0864.

Віднімаємо ці рівняння. Отримуємо перетворене третє рівняння із якого виключена складова, що містить невідому :

0 + 0 +(0,0106-j0,0109) +(-0,0003+j0,0010) = 1,1965-j1,2141.

Виключаємо невідому із четвертого рівняння еквівалентної системи рівнянь. Домножаємо друге рівняння на -0,005-j0,0041:

0-(0,005+j0,0041)(0,0302+j0,0788) +(0,005+j0,0041)(0,0134+j0,0422) +

+ (0,005+j0,0041) (0,005+j0,0041) = -(0,005+j0,0041)(1,7511+j4,0119),

або

0 - (-0,0002+j0,0005) +(-0,0001+j0,0003) +(0,000008+j0,000041) =

=-(-0,0077+j0,0272).

Домножаємо четверте рівняння на 0,0302+j0,0788:

-(0,0302+j0,0788)(0,005+j0,0041) -( 0,0302+j0,0788)(0,0063+j0,0051) +

+(0,0302+j0,0788)( 0,0512+j0,0392) =(0,0302+j0,0788)( 0,6775 + j0,4230),

або

  1. - (-0,0002+j0,0005) -(-0,0002+j0,0007) +(-0,0015+j0,0052) =

=-0,0129+j0,0662.

Віднімаємо ці рівняння:

0 + 0 +(-0,0003+j0,0010) +(0,0015-j0,0052) =0,0206-j0,0934.

Отримали перетворене четверте рівняння системи, із якого виключена невідома .
В результаті виконання другого кроку виключення невідомих отримуємо еквівалентну систему рівнянь:
= ;

0 + = ;

0 + 0 + = ;

0 + 0 – + = ,

або


(0,3544 – j0,5288) – (0,1111 – j0,1518) – (0,1393 – j0,1899)

– (0,0017 – j0,0343) = ;

0 + (0,0302+j0,0788) -(0,0134+j0,0422) -

- (0,0050+j0,0041) = 1,7511+j4,0119;

0 + 0 +(0,0106-j0,0109) +(-0,0003+j0,0010) = 1,1965-j1,2141;

0 + 0 +(-0,0003+j0,0010) +(0,0015-j0,0052) = 0,0206-j0,0934.

Третій крок виключення невідомих. Перетворюємо рівняння еквівалентної системи так, щоб виключити невідому із четвертого рівняння. Для цього домножаємо третє рівняння на -0,0003+j0,0010:

(-0,0003+j0,0010)( 0,0106-j0,0109) +( -0,0003+j0,0010)(-0,0003+

+j0,0010) =( -0,0003+j0,0010)( 1,1965-j1,2141),

або

0 + 0 + (7,72+ j13,87)10-6 - (0,91+j0,6)10-6 =

=(8,5515+j15,6073)10-4.

Домножаємо четверте рівняння на 0,0106-j0,0109:

(0,0106-j0,0109)( -0,0003+j0,0010) +( 0,0106-j0,0109)(0,0015-

-j0,0052) =(0,0106-j0,0109)(0,0206-j0,0934),

або

0 + 0 + (7,72 + j13,87)10-6 - (40,78+ j71,47)10-6 =

=-(7,9970+j12,1458)10-4.

Віднімаємо ці рівняння:

  1. + 0 + 0 + (39,87 + j70,87)10-6 =(16,5485 +j27,7531)10-4.

Отримали перетворене четверте рівняння, із якого виключена невідома .

В результаті виконання останнього, третього кроку виключення невідомих, отримали еквівалентну систему рівнянь із трикутною матрицею коефіцієнтів:


= ;

0 + = ;

0 + 0 + = ;

0 + 0 – 0 + = ,

або

(0,3544 – j0,5288) – (0,1111 – j0,1518) – (0,1393 – j0,1899)

– (0,0017 – j0,0343) = ;

0 + (0,0302+j0,0788) - (0,0134+j0,0422) -

- (0,0050+j0,0041) = 1,7511+j4,0119;

0 + 0 +(0,0106-j0,0109) +(-0,0003+j0,0010) = 1,1965-j1,2141;

0 + 0 + 0 + (39,87 + j70,87)10-6 =(16,5485 +j27,7531)10-4.

Цим закінчується прямий хід метода Гауса.
ІІ. Зворотній хід метода Гауса. Полягає у розв’язанні еквівалентної системи рівнянь і обчисленні значень невідомих.

Розв’язання починаємо із останнього рівняння, звідки знаходимо :

= / (16,5485+j27,7531)10-4/(39,87+j70,87)10-6= 38,346–j0,359 kB.

Підставляємо це значення в передостаннє рівняння і знаходимо :

=( + )/ [(1,1965-j1,2141)-

- (-0,0003+j0,0010)(38,145– j0,457)]/(0,0106-j0,0109)= 114,764– j0,161 kB.

Підставляємо і в друге рівняння і знаходимо :

=( + + ) / =[(1,7511+j4,0119) +

+(0,0134+j0,0422)( 114,4195– j0,4914)+

+(0,0050+j0,0041)( 38,145 –j0,457)]/(0,0302+j0,0788)=114,573–j0,322 kB.

Підставляємо знайдені значення , і в перше рівняння і знаходимо :

= ( + + + ) / = [( ) +

+(0,1111 – j0,1518)(114,2849–j0,587)+(0,1393–j0,1899)( 114,4195– j0,4914)+

+(0,0017– j0,0343)( 38,145 – j0,457) /(0,3544–j0,5288)=114,722–j0,202 kB.
Цим закінчується зворотній хід метода Гауса.
Для перевірки правильності розв’язання системи рівнянь, необхідно обчисленні значення напруг підставити у рівняння вихідної системи. Наприклад, для третього рівняння:
-(0,1393 – j0,1899)(114,722– j0,202)+(0,2254–j0,3362)(114,764– j0,161)=

= 9.8713 – j16,8061;

(9.8713 – j16,8061) ≈ ( ).

Рівняння перетворюється на тотожність.
Таким чином, розвязком системи рівнянь усталеного режиму є такі значення напруг у вузлах мережі:
=114,722– j0,202 kB

=114,573– j0,322 kB;

= 114,764– j0,161 kB;

= 38,346 – j0,359 kB.
Аналіз результатів моделювання показує, що рівні напруг у вузлах відповідають їх намінальним напругам і знаходяться в межах ±5% від Uном.



    1. . Контрольні питання




  1. Для розв’язання яких систем рівнянь (лінійних чи нелінійних) застосовується метод Гауса;

  2. З яких основних етапів складається класичний метод Гауса;

  3. Який результат перетворень на прямому ході метода Гауса;

  4. Які перетворення системи рівнянь виконуються на прямому ході;

  5. Що таке еквівалентна система рівнянь, які перетворення вважаються еквівалентними;

  6. В чому полягає зворотній хід методу Гауса;

  7. Як перевірити правильність розв’язання СЛАР;

  8. Значення яких параметрів режиму отримуємо в результаті розв’язання системи рівнянь усталеного режиму.


  1   2

Схожі:

Практичні заняття 4, 5 Практичне заняття №4 iconКонкурс «Знавець рідної мови» Художнє читання Практичні заняття «Повторимо...
Практичні заняття «Повторимо правила дорожнього руху», «Заняття в рамках військово-патріотичного виховання»
Практичні заняття 4, 5 Практичне заняття №4 icon7. Критерії оцінювання
Для програм рекомендований розподіл годин: 60 практичні заняття, 40 теоретичні заняття
Практичні заняття 4, 5 Практичне заняття №4 iconЛабораторно-практичні заняття в сістемі професійної підготовки кваліфікованих...
Ослідження "Практичні та лабораторні заняття в системі професійної підготовки кваліфікованих робітників" обумовлено наявністю протиріччя...
Практичні заняття 4, 5 Практичне заняття №4 iconКонспект заняття в гуртку «Квілінг» Тема заняття
Тема заняття: Ознайомлення з технікою обробки паперу – квілінг. Виготовлення квіткової композиції в техніці квілінг
Практичні заняття 4, 5 Практичне заняття №4 iconКалендарно-тематичне планування
Практичне заняття. Про що можна довідатися з сімейного фотоальбому. Родинне дерево
Практичні заняття 4, 5 Практичне заняття №4 iconЛекція (1)
...
Практичні заняття 4, 5 Практичне заняття №4 iconЗаняття №2
Для самостійної роботи студентів при підготовці до практичного (семінарського) заняття
Практичні заняття 4, 5 Практичне заняття №4 iconТема заняття
Мета заняття Оволодіти практичними навичками І вмінням працювати із законодавчими актами
Практичні заняття 4, 5 Практичне заняття №4 iconТема заняття
Мета заняття Оволодіти практичними навичками І вмінням працювати із законодавчими актами
Практичні заняття 4, 5 Практичне заняття №4 iconЗаняття подорож у царство Золотої рибки
Конспект відкритого заняття на розвиток емоційної сфери у дітей старшого дошкільного віку
Додайте кнопку на своєму сайті:
Школьные материалы


База даних захищена авторським правом © 2014
звернутися до адміністрації
uchni.com.ua
Головна сторінка