Практичні заняття 4, 5 Практичне заняття №4




НазваПрактичні заняття 4, 5 Практичне заняття №4
Сторінка2/2
Дата конвертації31.01.2014
Розмір0.54 Mb.
ТипДокументы
uchni.com.ua > Фізика > Документы
1   2

Практичне заняття № 5
Розв’язання системи лінійних рівнянь

усталеного режиму роботи електричної мережі.

Метод подвійної факторизації
Мета заняття: набуття практичного досвіду розв’язання систем лінійних рівнянь усталеного режиму роботи електричної мережі методом подвійної факторизації.
5.1. Порядок виконання практичного заняття


  1. Ознайомитись з теоретичним матеріалом по темі заняття;

  2. Скласти систему лінійних рівнянь усталеного режиму у формі балансу струмів з комплексними невідомими і коефіцієнтами для заданої схеми електричної мережі.

Використовувати матеріали Практичного заняття № 4;

3. Записати систему рівнянь в матричній формі;

  1. Розв’язати складену систему рівнянь методом подвійної факторизації:

  1. обчислити факторизовану матрицю;

  2. сформувати факторні матриці;

  3. обчислити зворотну матрицю провідностей;

  4. визначити напруги у вузлах заданої електричної мережі;

  1. Перевірити правильність розв’язання системи рівнянь;

  2. Підготувати відповіді на контрольні питання.




    1. Стислі теоретичні відомості


Метод подвійної факторизації передбачає розв’язання системи лінійних рівнянь усталеного режиму (3.1), (3.2) і визначення невідомих напруг у вигляді

, (5.1)

де ─ обернена матриця провідностей; ─ вектор вільних членів рівнянь системи.

Для обернення матриці провідностей використовують подвійну факторизацію – подання оберненої матриці як добутку послідовності елементарних верхніх і нижніх трикутних матриць, у яких не дорівнюють нулю елементи тільки одного рядка чи стовпця ( праві та ліві факторні матриці):

Y -1 = R1 R2 Rk Rn-1 Ln Ln-1 Lk L1 , (5.2)

де ─ номер кроку перетворення матриці (крок факторизації). Структуру факторних матриць на k-му кроці факторизації показано на рис. 5.1.
i Rk i Lk1111.1.1k1yk,k+1yk,nkyk,k.1.yk+1,k1.1.…1n1nyn,k11..k.n1.k..njj

Рис. 5.1. Факторні матриці
Їх елементи обчислюють за формулами:

– матриця Lk : ; (5.3)

; (5.4)

– матриця Rk : , (5.5)
де i, j – відповідно номери рядка і стовпця матриці провідностей ; k – номер кроку факторизаціі ; у – елементи матриці провідностей на k-му кроці факторизації.

На кожному кроці факторизації виконується перерахунок усіх елементів неперетвореної раніше частини матриці ^ Y за формулою

. (5.4)

У результаті виконання n кроків перетворення отримуємо праву факторну матрицю R і n лівих факторних матриць L. Їх елементи розміщені на полі вихідної матриці Y і утворюють факторизовану матрицю Y*. На їх головній діагоналі припускають одиниці.
Загальний алгоритм подвійної факторизаціі матриці передбачає вико-нання таких кроків:

1) визначення номера чергового кроку факторизаціі k ;

2) вибір чергового опорного елемента (діагональний елемент);

3) розрахунок елементів лівої факторної матриці Lk за формулами

(5.3) і (5.4);

4) розрахунок інших елементів матриці Y, що не входили в опорний

рядок і стовпець на цьому і попередніх кроках перетворення за

формулою (5.4);

5) розрахунок елементів правої факторної матриці Rk за формулою

(5.5).

В результаті отримаємо чергові k-ті факторні матриці Lk і Rk.

6) повернення до пункту 1.
Після виконання n кроків перетворення, кожний з яких включає пп. 1 – 6, отримуємо факторизовану матрицю Y*, елементами якої є ненульові елементи n лівих факторних матриць L1, L2, … Ln та (n-1)-ї правої факторної матриці R1, R2, … Rn-1. Із сформованої факторизованої матриці виділяємо факторні матриці, перемножуємо їх і визначаємо обернену матрицю Y-1 відповідно до (5.2). Напруги у вузлах мережі обчислюємо за формулою (5.1).
5.3. Приклад виконання завдань практичного заняття
Система лінійних рівнянь усталеного режиму у формі балансу струмів складена на попередньому практичному занятті. Вона має вигляд:
= ;

+ – 0 – 0 = ;

– 0 + – 0 = ;

– 0 – 0 + = ,

або

(0,3544 – j0,5288) – (0,1111 – j0,1518) – (0,1393 – j0,1899)

– (0,0017 – j0,0343) = ;

– (0,1111 – j0,1518) + (0,1111 – j0,1518) = ;

– (0,1393 – j0,1899) + (0,2254 –j0,3362) = ;

- (0,0017 – j0,0343) + (0,0051 – j0,1025) = .

У матричній формі цю систему рівнянь можна записати:

0,3544 – j0,5288-0,1111 +j0,1518-0,1393 + j0,1899-0,0017 + j0,0343

*U1

= -0,1111+ j0,15180,1111 – j0,151800U2 -0,1393 + j0,189900,2254 –j0,33620U3 -0,0017 + j0,0343000,0051 – j0,1025U4

Або YU = J, де Y – матриця коефіцієнтів системи рівнянь - неповна матриця провідностей, U – вектор невідомих напруг, J – вектор вільних членів системи рівнянь.

Розв’язання системи рівнянь визначаємо у вигляді U = Y-1*J, де Y-1 – обернена матриця провідностей.

Для обернення матриці провідностей виконуємо подвійну факторизацію:


  1. Формуємо факторизовану матрицю провідностей.

Перший крок факторизації (k=1). Вибираємо опорний елемент Уkk = У11 = =0,3544 – j0,5288. Опорні – перший рядок і стовпець.

Обчислюємо елементи першої лівої факторної матриці:

L11 = 1/Y11 = 1/(0,3544 – j0,5288) = 0,8746+j1,3049;

L21 = - Y21 * L11 = -( -0,1111+ j0,1518)*( 0,8746+j1,3049) = 0,2953 +j0,0122;

L31 = - Y31 * L11 = -(-0,1393 + j0,1899)*( 0,8746+j1,3049) = 0,3696 +j0,0157;

L41 = - Y41 * L11 = -(-0,0017 + j0,0343)*( 0,8746+j1,3049) = 0,0462 – j0,0278.

Розраховуємо елементи поза опорним рядком і стовпцем (Y1ij):

k=1, i=2, j=2;

Y122 = Y22 + L21 * Y12 = (0,1111 – j0,1518) + (0,2953 +j0,0122)*( -0,1111 +

+j0,1518) = 0,0764 –j0,1083;

k=1, i=2, j=3;

Y123 = Y23 + L21 * Y13 = 0 + (0,2953 +j0,0122)*( -0,1393 + j0,1899) =

= -0,0435 + j0,0544;

k=1, i=2, j=4;

Y124 = Y24 + L21 * Y14 = 0 + (0,2953 +j0,0122)*( -0,0017 + j0,0343) =

= -0,0009 + j0,0101;

k=1, i=3, j=2;

Y132 = Y32 + L31 * Y12 = 0 + (0,3696 +j0,0157)*( -0,1111 + j0,1518) =

= -0,0435 + j0,0544;

k=1, i=3, j=3;

Y133 = Y33 + L31*Y13 =0,2254 –j0,3362 + (0,3696 +j0,0157)*( -0,1393 +

+ j0,1899) = 0,1709 – j0,2682;

k=1, i=3, j=4;

Y134 = Y34 + L31 * Y14 = 0 + (0,3696 +j0,0157)*( -0,0017 + j0,0343) =

= -0,0012 + j0,0127;

k=1, i=4, j=2;

Y142 = Y42 + L41 * Y12 = 0 + (0,0462 – j0.0278)*( -0,1111 + j0,1518) =

= -0,0009 +j0,0101;

k=1, i=4, j=3;

Y143 = Y43 + L41 * Y13 = 0 + (0,0462 – j0.0278)*( -0,1393 + j0,1899) =

= -0,0012 +j0,0126;

k=1, i=4, j=4;

Y144 = Y44 + L41 * Y14= (0,0051 – j0,1025) + (0,0462 – j0,0278)*( -0,0017 +

+ j0,0343) = 0,0060 –j0,1009.
Обчислюємо елементи першої правої факторної матриці:

k=1, j=2;

R12 = -Y12*L11 = -(-0,1111 + j0,1518)*( 0,8746+j1,3049) = 0,2953 + j0,0122;

k=1, j=3;

R13 = -Y13*L11 = -(-0,1393 + j0,1899)*( 0,8746+j1,3049) = 0,3696 + j0,0157;

k=1, j=4;

R14 = -Y14*L11 = -(-0,0017 + j0,0343)*( 0,8746+j1,3049) = 0,0462 –j0,0278.
Таким чином, після першого кроку факторизації матриця провідностей набуває вигляду:
0,8746+j1,30490,2953 + j0,01220,3696 + j0,01570,0462 –j0,0278R1 0,2953 +j0,01220,0764 –j0,1083-0,0435 + j0,0544-0,0009 + j0,01010,3696 +j0,0157-0,0435 + j0,05440,1709 – j0,2682-0,0012 + j0,01270,0462 – j0,0278-0,0009 +j0,0101-0,0012 +j0,01260,0060 –j0,1009 L1 Y1ij
^ Другий крок факторизації (k = 2). Вибираємо опорний елемент Y1kk = Y122 = =0,0764 –j0,1083. Опорні – другий рядок і стовпець.

Обчислюємо елементи другої лівої факторної матриці:

L22 = 1 / Y122 = 1/(0,0764 –j0,1083) = 4,3493 + j6,1654;

L32 = - Y132 * L22 = -(-0,0435 + j0,0544)*(4,3493 + j6,1654) = 0,5246 + j0,0316;

L42 = - Y142 * L22 = -(-0,0009 +j0,0101)*(4,3493 + j6,1654) = 0,0662 – j0,0384.

Розраховуємо елементи поза опорним рядком і стовпцем (Y2ij):

k=2, i=3, j=3;

Y233 = Y133 + L32 * Y123 = (0,1709 – j0,2682) + (0,5246 + j0,0316)*(-0,0435 +

+ j0,0544) = 0,1464 – j0,2410;

k=2, i=3, j=4;

Y234 = Y134 + L32 * Y124 = (-0,0012 + j0,0127) + (0,5246 + j0,0316)*(-0,0009+

+ j0,0101) = -0,0020 + j0,0180;

k=2, i=4, j=3;

Y243 = Y143 + L42 * Y123 = (-0,0012 +j0,0126) + (0,0662 – j0,0384)*(-0,0435+

+ j0,0544) = -0,0020 + j0,0180;

k=2, i=4, j=4;

Y244 = Y144 + L42 * Y124 = (0,0060 –j0,1009) + (0,0662 – j0,0384)*( -0,0009 +

+ j0,0101) = 0,0063 – j0,1002.

Обчислюємо елементи другої правої факторної матриці:

k=2, j=3;

R23 = -Y123*L22 = -(-0,0435 + j0,0544)*(4,3493 + j6,1654) = 0,5246 + j0,0316;

k=2, j=4;

R24 = -Y124*L22 = -(-0,0009 + j0,0101)*(4,3493 + j6,1654) = 0,0662 – j0,0384.
Таким чином, після другого кроку факторизації матриця набуває вигляду:
0,8746+j1,30490,2953 + j0,01220,3696 + j0,01570,0462 –j0,0278R1

R2 0,2953 +j0,01224,3493 + j6,16540,5246 + j0,03160,0662 – j0,03840,3696 +j0,01570,5246 + j0,03160,1464 – j0,2410-0,0020 + j0,01800,0462 – j0,02780,0662 – j0,0384-0,0020 + j0,01790,0063 – j0,1002 L1 L2 Y2ij
^ Третій крок факторизації (k = 3). Вибираємо опорний елемент Y2kk = Y233 = = 0,1464 – j0,2410. Опорні – третій рядок і стовпець.

Обчислюємо елементи третьої лівої факторної матриці:
L33 = 1 / Y233 = 1/(0,1464 – j0,2410) = 1,8412 + j3,0309;

L43 = - Y243 * L33 = -(-0,0020 + j0,0180)*(1,8412 + j3,0309) = 0,0582 - j0,0271.

Розраховуємо елемент поза опорним рядком і стовпцем (Ykij):

k=3, i=4, j=4;

Y344 = Y244 + L43 * Y234 = (0,0063 – j0,1002) + (0,0579 - j0,0269)*( -0,0020 +

+ j0,0180) = 0,0067 – j0,0991.

Обчислюємо елемент третьої правої факторної матриці:

k=3, j=4;

R34 = -Y234*L33 = -(-0,0020 + j0,0180)*(1,8412 + j3,0309) = 0,0582 – j0,0271.
Таким чином, після третього кроку факторизації матриця набуває вигляду:
0,8746+j1,30490,2953 + j0,01220,3696 + j0,01570,0462 –j0,0278R1

R2

R3

0,2953 +j0,01224,3493 + j6,16540,5246 + j0,03160,0662 – j0,03840,3696 +j0,01570,5246 + j0,03161,8412 + j3,03090,0582 – j0,02710,0462 – j0,02780,0662 – j0,03840,0582 - j0,02710,0067 – j0,0991 L1 L2 L3 Y3ij
Четвертий крок факторизації (k = 4). Вибираємо опорний елемент Y3kk = Y344 = = 0,0070 – j0,0994.

Обчислюємо елементи четвертої лівої факторної матриці:

L44 = 1 / Y344 = 1/(0,0067 – j0,0991) = 0,6791 + j10,0449.
Після виконання чотирьох кроків перетворень отримуємо факторизовану матрицю провідностей:

0,8746+j1,30490,2953 + j0,01220,3696 + j0,01570,0462 –j0,0278R1

R2

R3

0,2953 +j0,01224,3493 + j6,16540,5246 + j0,03160,0662 – j0,03840,3696 +j0,01570,5246 + j0,03161,8412 + j3,03090,0582 – j0,02710,0462 – j0,02780,0662 – j0,03840,0582 - j0,02710,6791 + j10,0449 L1 L2 L3 L4
Її елементами є ненульові елементи факторних матриць.


  1. Формуємо факторні матриці і перемножуємо їх:


10,2953 +j0,01220,3696+ j0,01570,0462 –j0,0278

x 111 R1
1

x 10,5246+ j0,03160,0662– j0,0384 11 R2
1

x 1 10,0582– j0,02711 R3
1

x 110,6791+ j10,0449 L4
1

x 1 1,8412+ j3,03090,0582-j0,02711 L3
1

x 4,3493+ j6,1654 0,5246+ j0,031610,0662– j0,03841 L2
0,8746+j1,3049

= 0,2953+j0,012210,3696 +j0,015710,0462– j0,02781 L1
1,7170+j2.82631,7176+j2,82800,9289+j1,68590,5756+j0,9457

1,7176+j2,82804,8579+j7,12060,9293+j1,68760,5763+j0,94580,9289+j1,68590,9293+j1,68761,8747+j3,05540.3117+j0.56620,5756+j0,94570,5763+j0,94580.3117+j0.56620,6791+j10,0449 Y-1
В результаті перемноження факторних матриць отримуємо обернену матрицю провідностей Y-1. Для перевірки правильності результату треба перемножити вихідну матрицю провідностей і обернену матрицю та

отримати одиничну матрицю.


  1. Обчислюємо напруги ^ U у вузлах мережі. Для цього обернену матрицю провідностей Y-1 умножаємо на вектор вільних членів системи рівнянь усталеного режиму J:


U = Y-1 J
1,7170+j2.82631,7176+j2,82800,9289+j1,68590,5756+j0,9457

*

=1,7176+j2,82804,8579+j7,12060,9293+j1,68760,5763+j0,9458 0,9289+j1,68590,9293+j1,68761,8747+j3,05540.3117+j0.5662 0,5756+j0,94570,5763+j0,94580.3117+j0.56620,6791+j10,0449

114,722 – j0,202114,573 – j0,322114,764 – j0,16138,346 – j0,359
Таким чином, розвязком системи рівнянь усталеного режиму є такі значення напруг у вузлах мережі:

= 114,722 – j0,202 kB

= 114,573 – j0,322 kB;

= 114,764 – j0,161 kB;

= 38,346 – j0,359 kB.
Для перевірки правильності розв’язання системи рівнянь, необхідно обчисленні значення напруг підставити у рівняння вихідної системи. Наприклад, для першого рівняння:

(0,3544 – j0,5288)(114,722 – j0,202) – (0,1111 – j0,1518)(114,573 – j0,322) – -(0,1393 – j0,1899)(114,764 – j0,161) – (0,0017 – j0,0343)(38,346 – j0,359) = = 11,8616 – j20,1766

( 11,8616 – j20,1766) ≈ (11,8637 – j20,1758);

для третього рівняння:

- (0,1393 – j0,1899) + (0,2254 –j0,3362) =

- (0,1393 – j0,1899)(114,722 – j0,202) + (0,2254 –j0,3362)(114,764 – j0,161) = = 9,8713 – j16,8061;

(9,8713 – j16,8061) ≈ ( ).
Рівняння перетворюються на тотожність, тобто система рівнянь розв’язана правильно.


    1. Контрольні питання




  1. Для розв’язання яких систем рівнянь (лінійних чи нелінійних) застосовується метод подвійної факторизації;

  2. Факторні матриці. Їх структура, кількість;

  3. Як обчислюються елементи факторних матриць;

  4. Структура факторизованої матриці;

  5. Як обчислюється обернена матриця провідностей;

  6. Алгоритм розв’язання СЛАР усталеного режиму методом подвійної факторизації.


1   2

Схожі:

Практичні заняття 4, 5 Практичне заняття №4 iconКонкурс «Знавець рідної мови» Художнє читання Практичні заняття «Повторимо...
Практичні заняття «Повторимо правила дорожнього руху», «Заняття в рамках військово-патріотичного виховання»
Практичні заняття 4, 5 Практичне заняття №4 icon7. Критерії оцінювання
Для програм рекомендований розподіл годин: 60 практичні заняття, 40 теоретичні заняття
Практичні заняття 4, 5 Практичне заняття №4 iconЛабораторно-практичні заняття в сістемі професійної підготовки кваліфікованих...
Ослідження "Практичні та лабораторні заняття в системі професійної підготовки кваліфікованих робітників" обумовлено наявністю протиріччя...
Практичні заняття 4, 5 Практичне заняття №4 iconКонспект заняття в гуртку «Квілінг» Тема заняття
Тема заняття: Ознайомлення з технікою обробки паперу – квілінг. Виготовлення квіткової композиції в техніці квілінг
Практичні заняття 4, 5 Практичне заняття №4 iconКалендарно-тематичне планування
Практичне заняття. Про що можна довідатися з сімейного фотоальбому. Родинне дерево
Практичні заняття 4, 5 Практичне заняття №4 iconЛекція (1)
...
Практичні заняття 4, 5 Практичне заняття №4 iconЗаняття №2
Для самостійної роботи студентів при підготовці до практичного (семінарського) заняття
Практичні заняття 4, 5 Практичне заняття №4 iconТема заняття
Мета заняття Оволодіти практичними навичками І вмінням працювати із законодавчими актами
Практичні заняття 4, 5 Практичне заняття №4 iconТема заняття
Мета заняття Оволодіти практичними навичками І вмінням працювати із законодавчими актами
Практичні заняття 4, 5 Практичне заняття №4 iconЗаняття подорож у царство Золотої рибки
Конспект відкритого заняття на розвиток емоційної сфери у дітей старшого дошкільного віку
Додайте кнопку на своєму сайті:
Школьные материалы


База даних захищена авторським правом © 2014
звернутися до адміністрації
uchni.com.ua
Головна сторінка