Міністерство освіти І науки України Національний технічний університет України
Скачати 1.31 Mb.
|
| ^ Мета роботи: дослідження стійкості замкненої автоматичної системи, представленої у вигляді частотної передавальної функції. 5.1. Завдання на роботу
^ Стійкість систем автоматичного керування є одним з основних умов її функціонування і включає вимогу затухання в часі перехідних процесів. Система є стійкою, якщо при обмеженому вхідному сигналі її вихідний сигнал також є обмеженим. Якщо система стійка, то вона протистоїть зовнішнім впливам, а виведена зі стану рівноваги знову до нього повертається. Система з перехідним процесом, що розходиться, буде нестійкою і непрацездатною. Вперше властивості стійкості були досліджені російським ученим О. М. Ляпуновим в 1892 р. в роботі «Загальна задача про стійкість руху». Необхідна і достатня умова стійкості полягає в тому, щоб всі корені характеристичного рівняння (полюси передавальної функції системи) мали негативні дійсні частини. Інакше кажучи, умовою стійкості системи є розташування всіх полюсів в лівій комплексній напівплощині. Тоді всі полюси даватимуть затухаючу реакцію. Вище сформульована умова стійкості справедлива як для лінійних, так і для лінеаризованих систем. Проте у разі нульових або лише уявних коренів характеристичного рівняння питання про стійкість лінеаризованої системи може бути вирішено тільки на підставі дослідження її нелінійних рівнянь. В кінці XIX і першій половині XX ст. задача обчислення коренів характеристичного рівняння високого порядку викликала великі труднощі. Тому були запропоновані декілька непрямих методів оцінки стійкості, що дозволяли обійтися без обчислення коренів – за значеннями коефіцієнтів характеристичного рівняння. Критерії стійкості розділяють на алгебраїчні і частотні. Зокрема, до алгебраїчних критеріїв відноситься критерій Раута-Гурвиця, до частотних критеріїв – критерій Найквіста. Критерій Раута-Гурвиця є алгебраїчним критерієм і застосовується до коефіцієнтів характеристичного рівняння замкненої системи. Нехай маємо характеристичне рівняння замкнутої системи: . З коефіцієнтів характеристичного рівняння складають матрицю за правилом: 1. По діагоналі записуються коефіцієнти від до . 2. Кожен рядок доповнюється коефіцієнтами із зростаючими індексами зліва направо так, щоб чергувалися рядки з непарними і парними індексами. 3. У разі відсутності індексу, а також, якщо він менше 0 або більше n, на його місце пишеться 0. Таким чином, матриця Раута-Гурвиця набуває наступного вигляду: Критерій стійкості формулюється так: Для того щоб система була стійкою, необхідно і достатньо, щоб при були позитивними всі n діагональних визначників, що отримуємо з матриці Раута-Гурвиця. Перші три визначники матриці Раута-Гурвиця мають наступний вигляд: Таким чином, критерій Раута-Гурвиця дозволяє судити про абсолютну стійкість, але не дає можливості оцінювати відносну стійкість за коренями характеристичного рівняння. Частотний критерій стійкості Найквіста аналізує АФЧХ розімкненої системи. Нехай маємо передавальну функцію (ПФ) розімкненої системи . Для знаходження дійсної та уявної частини частотної ПФ потрібно звільнитися від уявності в знаменнику шляхом множення чисельника і знаменника на комплексну величину, спряжену до знаменника, а потім виконати розділення на дійсну і уявну частини. Передавальна функція набуває вигляду . Задаючись різними значеннями частоти, можна знайти множену пар: . Потім по цім парам будується АФЧХ на комплексній площині. ^ 1. Якщо розімкнена система не має інтегруючих ланок, то при її АФЧХ починається на дійсній осі в точці (де K – коефіцієнт підсилення розімкненої системи). Закінчується АФЧХ на початку координат при (рис.5.1, а). 2. Якщо розімкнена система має одну інтегруючу ланку, то її АФЧХ починається при в нескінченності на негативній уявній напівосі, а закінчується на початку координат при (рис.5.1, б). Критерій стійкості Найквіста формулюється так: 1. Якщо розімкнена система стійка або знаходиться на межі стійкості, то для того, щоб замкнута система була стійка, необхідно і достатньо, щоб АФЧХ розімкненої системи при зміні частоти від 0 до не охоплювала точку з координатами –1, j0. 2. Якщо розімкнена система нестійка, а її передавальна функція має m полюсів праворуч від уявної осі на комплексній площині, то для стійкості замкнутої системи необхідно і достатньо, щоб АФЧХ розімкненої системи при зміні частоти від до охоплювала m разів точку з координатами –1, j0. При використанні цього критерію потрібно враховувати дві особливості: 1. Якщо розімкнена система знаходиться на межі стійкості, то її АФЧХ прямує в нескінченність. Для перевірки критерію Найквіста потрібно подумки з’єднати кінець АФЧХ дугою нескінченно великого радіусу з позитивною дійсною напіввіссю. 2. На практиці АФЧХ може будуватися тільки для позитивних частот ( ). При застосуванні критерію Найквіста вважається, що гілка АФЧХ для негативних частот симетрична щодо речової осі. Фізичний сенс критерію стійкості Найквіста полягає в тому, що система буде нестійка, якщо фаза вихідного сигналу протилежна фазі вхідного сигналу, а коефіцієнт підсилення >1. ^ 1. Виконати дослідження стійкості замкненої системи автоматичного керування по заданій передавальній функції розімкненої системи. Номер варіанту завдання взяти із роботи №4. 2. Для перевірки системи автоматичного керування на стійкість за допомогою критерію Раута-Гурвиця доцільно скористатися командним рядком системи Matlab (Command Window). По-перше потрібно побудувати матрицю Раута-Гурвиця і знайти її детермінант (функція det). Потім, послідовно зменшуючи розмір матриці, знайти значення всіх діагональних детермінантів. Приклад. >> A=[1 14 18; 2 5 2; 3 4 3] A = 1 14 18 2 5 2 3 4 3 >> det(A) ans = -119 >> A1=A(1:2, 1:2) A1 = 1 14 2 5 >> det(A1) ans = -23 3. Для перевірки стійкості системи автоматичного керування за критерієм Найквіста спочатку потрібно з’ясувати, чи є стійкою розімкнена система. Приклад. Нехай задана передавальна функція розімкненої системи . Розглянемо реакцію на ступінчастий вхідний сигнал. >> d=tf([2 1],[2 3 2 3 1]) >> step(d) Графік перехідного процесу показаний на рис.5.2. Розімкнена система нестійка, і, згідно критерію Найквіста, потрібно, щоб АФЧХ розімкненої системи охоплювала точку –1, j0 стільки разів, скільки полюсів знаходяться праворуч від уявної осі. Для побудови АФЧХ досить викликати команду nyquist. >> nyquist(d) Діаграма Найквіста представлена на рис.5.3. Як видно з рис.5.3 АФЧХ жодного разу не охоплює точку –1, j0, тому замкнена система буде нестійкою. 6. Перевірку одержаних результатів необхідно виконати в в пакеті Simulink. Для цього потрібно скласти відповідні структурні схеми (S-моделі) і дослідити перехідні процеси розімкненої і зімкненої систем. Зміст протоколу 1. Титульний лист. 2. Мета роботи. 3. Короткі теоретичні відомості. 4. Задана перехідна функція розімкненої системи. 5. Розрахункові вирази для обґрунтування стійкості замкненої системи за алгебраїчним критерієм Раута-Гурвиця. 6. Перехідна характеристика замкненої системи та годограф Найквіста розімкненої системи, на підставі якого сформулювати висновок про стійкість замкненої системи. 7. Результати перевірки отриманих результатів для розімкненої і замкненої системи в програмному пакеті Simulink. Результати мають бути представлені у вигляді побудованих S-моделей і графіків отриманих перехідних процесів. 8. Висновки по всіх отриманих в роботі результатах. Контрольні запитання 1. Поняття стійкості автоматичної системи. Необхідна і достатня умови стійкості. 2. Визначення стійкості автоматичної системи за допомогою частотної передавальної функції. Алгебраїчні критерії стійкості. 3. Критерій стійкості Раута-Гурвиця. 4. Критерій стійкості Михайлова. 5. Формулювання і графічна ілюстрація критерію стійкості Найквіста. 6. Методика аналізу стійкості системи за критерієм Раута-Гурвиця в програмі Matlab. 7. Методика аналізу стійкості системи за критерієм Найквіста та побудова діаграми Найквіста в програмі Matlab. 8. Методика розрахунку реакції системи на вхідний ступінчастий сигнал в програмному пакеті Matlab і її додатку – програмі Simulink. |
