Називають натуральне число, яке ділиться на




Скачати 64.19 Kb.
НазваНазивають натуральне число, яке ділиться на
Дата конвертації31.03.2013
Розмір64.19 Kb.
ТипДокументы
uchni.com.ua > Історія > Документы
I.Кратні числа
Кратним натуральному числу а називають натуральне число, яке ділиться на а без остачі.

Приклади:

а) для числа 18 кратними є числа: 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126 і т.д.;

б) для числа 7 кратними є числа: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49 і т.д.

Отже, треба запам'ятати:

1) будь-яке число має нескінченну кількість кратних;

2) найменшим кратним для числа є саме це число.
II.Дільники числа

Дільником натурального числа а називається натуральне число, на яке а ділиться без остачі.

Приклади:

а) число 18 має шість дільників: 1, 2, 3, 6, 9, 18;

б) число 25 має 3 дільники: 1, 5, 25;

в) число 73 має 2 дільники: 1 і 73.

Число 1 є дільником будь-якого натурального числа.
^ Поглиблення знань

Число, яке дорівнює сумі своїх дільників, не враховуючи самого числа, називається досконалим числом.

Наприклад, 6=1+2+3; 28=1+2+4+7+14.

^ Дружніми числами називають два натуральні числа такі, що сума всіх дільників першого (за винятком самого числа) рівна другому числу, а сума всіх дільників другого числа (за винятком самого числа) рівна першому числу.

Наприклад для 220 такими дільниками є числа 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 і 110 сума яких рівна 284, а для 284 дільниками є 1, 2, 4, 71, і 142 сума яких рівна 220. Отже (220,284) є парою дружніх чисел.

Найменшими парами дружніх чисел є (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924) (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), (17296, 18416), (63020, 76084).
III.Ознаки подільності на 2, 3, 5, 9, 10

Цифри 0, 2, 4, 6, 8 називають парними, а цифри 1, 3, 5, 7, 9 - непарними.

Натуральні числа називають парними, якщо вони закінчуються парною цифрою, і непарними, якщо вони закінчуються непарною цифрою.

Правило: Якщо запис натурального числа закінчується парною цифрою, то це число ділиться без остачі на 2, а якщо непарною цифрою - то число не ділиться без остачі на 2.

Приклади:

а) 8, 60, 574 - діляться на 2;

б) 13, 25, 1001 - не діляться на 2.

Правило: Якщо запис натурального числа закінчується на 0, то це число ділиться без остачі на 10.

Якщо запис натурального числа закінчується будь-якою іншою цифрою, то воно не ділиться без остачі на 10.

Приклади:

а) 680 ділиться на 10;

б) 104 не ділиться на 10.

Правило: Якщо запис натурального числа закінчується цифрами 0 або 5, то це число ділиться без остачі на 5.

Якщо запис числа закінчується будь-якою іншою цифрою, то число не ділиться на 5 без остачі.

Приклади:

а) 370 і 1485 діляться без остачі на 5;

б) числа 537 і 4008 без остачі на 5 не діляться.

Правило: Якщо сума цифр числа ділиться на 3, то й число ділиться на 3. Якщо сума цифр числа не ділиться на 3, то й число не ділиться на 3.

Приклади:

а) 276 ділиться на 3, оскільки 2 + 7 + 6 = 15, а 15 ділиться на 3;

б) 563 не ділиться на 3, оскільки 5 + 6 + 3 = 14, а 14 не ділиться на 3.

Правило: Якщо сума цифр числа ділиться на 9, то й саме число ділиться на 9. Якщо сума цифр числа не ділиться на 9, то й число не ділиться на 9.

Приклади:

а) 5787 ділиться на 9, оскільки 5 + 7 + 8 + 7 = 27, а 27 ділиться на 9;

б) 359 не ділиться на 9, оскільки 3 + 5 + 9 = 17, а 17 не ділиться на 9.

^ Отже, треба запам'ятати:

1) нуль ділиться на будь –яке натуральне число;

2) будь –яке натуральне число ділиться на 1;

3) якщо кожний доданок ділиться на деяке число, то і сума ділиться на це число;

4) якщо в добутку хоча б один із множників ділиться на деяке число, то і добуток ділиться на це число.
^ Поглиблення знань

Правило: Число ділиться на 4, якщо число, складене із двох останніх цифр даного числа, ділиться на 4.

Приклади:

а) 78 536 ділиться на 4, оскільки 36 ділиться на 4;

б) 8422 не ділиться на 4, оскільки 22 не ділиться на 4.

Правило: Число ділиться на 6, якщо воно одночасно ділиться на 2 і на 3.

Приклади:

а) 2862 ділиться на 6, оскільки 2862 ділиться і на 2, і на 3;

б) 3754 не ділиться на 6, оскільки 3754 не ділиться на 3.
IV.Прості та складені числа

Натуральне число називають простим, якщо воно має лише два дільники: одиницю і саме число.

Натуральне число називають складеним, якщо воно має більше двох дільників.

Приклади:

а) число 9 має три дільники (1, 3 і 9), значить, воно складене;

б) число 17 має два дільники, значить, воно просте;

в) число 1 має лише один дільник - саме це число, тому воно не є ні простим, ні складеним.

Правило: Розкласти складене число на прості множники означає записати дане число у вигляді добутку простих чисел - дільників даного числа.

При будь-якому способі запису одержуємо один і той самий розклад, якщо не враховувати порядку розміщення множників.

Приклади:

а) 180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5;



б) 1368 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 19.




Поглиблення знань

Решето Ератосфена



Історія математики знає імена вчених, які чимало працювали над складанням таблиць простих чисел. Перші такі спроби робилися ще у Стародавній Греції.

Для знаходження простих чисел давньогрецький учений Ератосфен (бл. 276 - бл. 194 р. до н. е.) запропонував певний спосіб. Він виписував усі числа від 1 до якогось числа а. Викреслював число 1, яке не є простим. Підкреслював число 2 і викреслював усі числа, які діляться на 2, тобто числа 4, 6, 8, ... . Наступне незакреслене число 3 є простим. Ератосфен підкреслював це число і викреслював усі числа, які діляться на 3. Підкреслював наступне невикреслене число 5, яке є простим, і т. д. У такий спосіб серед чисел, що не перевищують а, можна «висіяти» всі прості числа.

Якщо «висіяти» всі прості числа, що не перевищують 30, то одержимо: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 — перші 10 простих чисел.

Метод Ератосфена «висіювання» простих чисел називають ще «решетом Ератосфена». Це пов'язано з тим, що давні греки писали на папірусах або табличках, покритих воском, і числа не викреслювали, а виколювали голкою, після чого папірус або табличка нагадували решето.

V.Найбільший спільний дільник (НСД)

Найбільше натуральне число, на яке діляться без остачі числа а і b, називається найбільшим спільним дільником (НСД) цих чисел.

Правило: Щоб знайти найбільший спільний дільник декількох натуральних чисел, потрібно:

1) розкласти дані числа на прості множники;

2) виписати ті спільні множники, які є в розкладі кожного із чисел,

3) знайти добуток цих множників.

Приклади:

а) Знайти НСД (6600; 6300):

6600 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 5 · 11,

6300 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7,

НСД (6600; 6300) = 2 · 2 · 3 · 5 · 5 = 300.

Натуральні числа називають взаємно простими, якщо їх найбільший спільний дільник дорівнює одиниці.

Приклади:

а) 75 і 14 - взаємно прості числа, оскільки НСД (75; 14) = 1;

б) 20, 9 і 77 взаємно прості числа, оскільки НСД (20; 9; 77) = 1.
^ Поглиблення знань

При знаходженні найбільшого спільного дільника двох чисел корисно знати ще одне правило, яке називається «алгоритмом Евкліда».



^ Алгоритм Евкліда:

Щоб знайти НСД двох натуральних чисел, треба спочатку більше число розділити на менше, потім менше число ділимо на остачу від ділення, а потім остачу від першого ділення ділимо на остачу від ділення другого і т. д. Остання в цьому процесі остача, яка не дорівнює нулю, і буде НСД даних чисел.

Приклад: Знайти НСД (270; 186). Поділимо 270 на 186 з остачею:

270 : 186 = 1 (ост. 84).

Потім поділимо дільник на остачу і т.д.:

186 : 84 = 2 (ост. 18),

84 : 18 = 4 (ост. 12),

18 : 12 = 1 (ост. 6),

12 : 6 = 2 (ост. 0).

Найбільшим спільним дільником чисел 270 і 186 є остання, відмінна від нуля остача, тобто число 6.

Приклад: Знайти НСД (234; 180).

1) 234 : 180 = 1 (ост. 54),

2) 180 : 54 = 3 (ост. 18),

3) 54 : 18 = 3 (ост. 0).

Значить, НСД (234; 180) = 18.
VI.Найменший спільний кратний (НСК)

Найменшим спільним кратним (НСК) натуральних чисел а і b називають найменше натуральне число, яке кратне і а, і b.

Треба запам'ятати:

1) якщо одне із двох натуральних чисел ділиться на друге число, то більше з цих двох чисел є їх найменшим спільним кратним;

2) якщо два числа є взаємно простими, то найменше спільне кратне цих чисел дорівнює їх добутку.

Приклади:

а) НСК (9; 18) = 18;

б) НСК (2; 8; 16) = 16, оскільки 8 ділиться на 2, а 16 ділиться на 8;

в) НСК (7; 10) = 70, оскільки 7 і 10 - взаємно прості числа.

У деяких випадках найменше кратне двох чисел знаходять усно.

Приклади:

а) НСК (12; 18) = 36;

б) НСК (18; 30) = 90;

в) НСК (5; 10; 12) = 60;

г) НСК (14; 8) = 56.

Правило: Щоб знайти найменше спільне кратне декількох натуральних чисел, треба:

1) розкласти їх на прості множники;

2) виписати множники, що входять у розклад (краще найдовший) одного з чисел;

3) дописати до них ті множники, що є в розкладі інших чисел;

4) знайти значення утвореного добутку.

Приклад: Знайдемо найменше спільне кратне чисел 360 і 825, користуючись цим правилом.

1) 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5,



825 = 3 · 5 · 5 · 11;



2) випишемо найдовший розклад:

2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5;

3) допишемо до нього множники з другого розкладу, яких не вистачає: 5 і 11;

4) НСК (360; 825) = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 11 = 19 800.

Схожі:

Називають натуральне число, яке ділиться на iconВася написав на дошці натуральне число. Петя помножив його на 3 І...
Число із сумою цифр 2014 не ділиться на 3, а число яке отримав Петя має вид, тому ділиться на 3
Називають натуральне число, яке ділиться на iconII. Поняття про натуральні числа
Числа, які використовуються при лічбі предметів, називаються натуральними. Будь-яке натуральне число можна записати за допомогою...
Називають натуральне число, яке ділиться на iconКількість гравців в клубі. Розглянемо простішу задачу, в якій рівень...
Таке припущення еквівалентне відсутності гравця: його ніколи не виберуть як супротив­ника. На початку розгляду послідовність X1,...
Називають натуральне число, яке ділиться на iconОдин палець показала І «О'Кей» тобі сказала. Струнко встань на хвильку...
Матеріали, вміщені у посібнику спрямовані на формування поняття про натуральне число, вивчення нумерації чисел першого десятку, числа...
Називають натуральне число, яке ділиться на iconДо І етапу Всеукраїнської олімпіади
Якщо число ділиться на 2 то будемо виводити на екран цей простий множник. Далі перевірятимемо подільність на 3, 5, 7 І т д. Введемо...
Називають натуральне число, яке ділиться на iconКорінь n-го степеня. Арифметичний корінь n-го степеня Перетворення...
Коренем n-го степеня з числа а називають таке число b n-й степінь якого дорівнює а
Називають натуральне число, яке ділиться на iconОзначення кореня n-го степеня. Властивосты коренів
Коренем n-го степені, з числа а, будемо називати число, яке при піднесенні якого до n-го степеня дорівнює а
Називають натуральне число, яке ділиться на iconСумський обласний інститут післядипломної педагогічної освіти Завдання...
Знайти найбільше тризначне число, яке при діленні на 43 дає остачу, що дорівнює частці
Називають натуральне число, яке ділиться на iconВ акваріум, довжина якого 7 дм, ширина 4 дм І висота 35 см, налили...
Число а складає 75% від числа b І 40% від числа с. Число с на 42 більше за число b. Знайдіть числа а І b
Називають натуральне число, яке ділиться на iconТема: Перетворення чисел в різних системах числення
Тут Аq саме число, q основаніє системи числення, аі цифри даної системи числення, n число розрядів цілої частини числа, m число розрядів...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Школьные материалы


База даних захищена авторським правом © 2014
звернутися до адміністрації
uchni.com.ua
Головна сторінка