2 Інтегрування деяких виразів, які містять квадратний тричлен у знаменнику




Скачати 38.62 Kb.
Назва2 Інтегрування деяких виразів, які містять квадратний тричлен у знаменнику
Дата конвертації09.03.2013
Розмір38.62 Kb.
ТипДокументы
uchni.com.ua > Математика > Документы




2. Основні методи інтегрування.
2.1. Інтегрування безпосереднє.
Те, що інтеграл є табличним, нерідко можна побачити тільки після деяких перетворень підінтегрального виразу.

Приклади:

1.

2.2 Інтегрування підстановкою.
Нехай інтеграл не відноситься до табличного інтегралу, але можливо представити

.

Тоді

Якщо інтеграл є у таблиці інтегралів, то визначив його, після виключення допоміжної змінної одержимо величину .

Підстановки підбирають так, щоб одержані після перетворення нові інтеграли були табличними, або зводились до них. Загальних методів підбору підстановок не існує.

Приклади:

1)

2)

^ 2.3. Інтегрування частинами.
Нехай , - функції, що мають на деякому проміжку неперервні похідні. Тоді

;



Проінтегруємо обидві частини:

,

або

.

Це формула інтегрування частинами. Іноді її доводиться застосовувати кілька разів.

Цю формулу застосовують при інтегруванні добутків типу , , , де є, а також обернених тригонометричних функцій, логарифмічних та інших. За «», як правило, обирають множник, який при диференціюванні спрощується. Інша частина підінтегрального виразу образує множник «». Його слід вибирати так, щоб інтегруванням можна було знайти . При цьому, тут беремо будь-яку первісну, тому взяти .

Вкажемо деякі типи інтегралів, які зручно обчислювати методом інтегрування частинами.


  1. інтеграли вигляду

, де - многочлен, - дійсне число.





2) інтеграл вигляду

;
3) , де і - дійсні числа

Все рівно що.

Тут після двократного застосування формули інтегрування частинами утворюється лінійне рівняння відносно шуканого інтеграла. Роз’язуючи це рішення, знаходять інтеграл.
Приклади:

1)

2)

3)

;

Тобто

,

або

2


^ 2.4. Інтегрування деяких виразів, які містять квадратний тричлен у знаменнику.
Це інтеграли вигляду

;

;

;

.

Вони приводяться до табличних шляхом виділення повного квадрата в квадратному тричлені:


.

Для інтегралів та цієї операції достатньо, для інтегралів та спочатку слід одержати у чисельнику диференціал тричлену

Дійсно:


.

Перший інтеграл знаходимо за формулою , а другий зведемо до інтегралу або .

Приклад.







^ 2.5. Інтегрування деяких тригонометричних функцій.
1*. Інтеграли вигляду .
а) Якщо хоча б один з показників або - попарне додатне число, то інтегрування ведемо так:

нехай , є. Від непарного степеня синуса відокремлюємо його першу степінь - вона потрібна для утворення диференціала косинуса; ту додатню степінь, котра залишилась, перетворюємо у косинус того ж самого аргументу за формулою:

Далі робимо підстановку:




Далі за формулами скороченого множення розкриваємо дужки і отримуємо додатки степеневого вигляду.
Приклад.






б) Якщо обидва показники і - парні додатні числа, то інтеграл можна знайти, якщо поширити степінь підінтегральних виразів за допомогою формул:

;
;


Приклад.




2*. Інтеграли вигляду ,
Якщо - парне додатне число, то при будь-якому значенні , то використовуємо тригонометричні тотожності:

;
,

а далі за допомогою підстановки або одержимо інтеграли від степеневих функцій.
Приклад.



3*. Інтеграли вигляду
,
,


Ці інтеграли можна привести до табличних за допомогою формул:




Приклад.


Схожі:

2 Інтегрування деяких виразів, які містять квадратний тричлен у знаменнику iconПеревірив викладач: козік в. Ю
Тут ми дамо стислу характеристику деяких популярних форматів, які містять у собі опис тривимірних об'єктів
2 Інтегрування деяких виразів, які містять квадратний тричлен у знаменнику iconІнтегрування деяких ірраціональних І трансцендентних функцій
У даному параграфі означення r ( U, V… W) вказує на те, що над величинами U, V…W виконуються тільки раціональні алгебраїчні операції,...
2 Інтегрування деяких виразів, які містять квадратний тричлен у знаменнику iconЗ лабораторної роботи №6 з курсу програмування
Крім того, калькулятор має бути доповнений певними функціями, такими як, наприклад, обчислення виразів у різних системах числення...
2 Інтегрування деяких виразів, які містять квадратний тричлен у знаменнику iconМетодичний тиждень
Закріпити навички добування арифметичного квадратного кореня, застосування теорем про корінь з добутку, дробу І степеня, виконання...
2 Інтегрування деяких виразів, які містять квадратний тричлен у знаменнику iconПатологія гіпоталамо-гіпофізарної системи
Гіпоталамус є відділом центральної нервової системи, де відбувається інтегрування нервових І ендокринних механізмів регуляції. Це...
2 Інтегрування деяких виразів, які містять квадратний тричлен у знаменнику iconУрок математики
Тема. Позначення частин числа цифрами. Складені задачі, які містять знаходження частини числа
2 Інтегрування деяких виразів, які містять квадратний тричлен у знаменнику iconСтрави І гарніри з смажених овочів
Сирими смажать овочі, які містять нестійкий протопектин І достатню кількість вологи, – картоплю, кабачки, гарбуз, ріпчасту цибулю,...
2 Інтегрування деяких виразів, які містять квадратний тричлен у знаменнику iconПерелік документів Фонду соціального захисту інвалідів, які містять публічну інформацію
Строк обмеження доступу до інформації, у разі її віднесення до інформації з обмеженим доступом
2 Інтегрування деяких виразів, які містять квадратний тричлен у знаменнику iconПредставлена на розсуд читачів інформація є коротким викладом правил...
Умінням чітко І точно викладати свої думки, щоб їх правильно могли зрозуміти оточуючі, говорити без застосування нецензурних виразів...
2 Інтегрування деяких виразів, які містять квадратний тричлен у знаменнику iconМалоповерховий житловий будинок
При проектуванні таких будинків необхідно дотримуватись деяких додаткових умов, які відрізняють ці будинки від багатоповерхових
Додайте кнопку на своєму сайті:
Школьные материалы


База даних захищена авторським правом © 2014
звернутися до адміністрації
uchni.com.ua
Головна сторінка