Прямою, що проходить крізь ці точки. Рівняння прямої лінії можна представити у вигляді: звідки: Таким чином, знаючи два табличних значення y




Скачати 215.92 Kb.
НазваПрямою, що проходить крізь ці точки. Рівняння прямої лінії можна представити у вигляді: звідки: Таким чином, знаючи два табличних значення y
Дата конвертації09.03.2013
Розмір215.92 Kb.
ТипДокументы
uchni.com.ua > Математика > Документы
1. ІНТЕРПОЛЯЦІЯ

1.1 Лінійна інтерполяція

Дані, з якими доводиться мати справу інженеру-хіміку-технологу, найчастіше одержують експериментально і представляють у вигляді таблиць.

Суть інтерполяції полягає у відшукуванні значення функції у деякій проміжній точці.

Найпростішим видом інтерполяції є лінійна інтерполяція, в основі якої лежить апроксимація кривої на ділянці між точками k, уk) і k+1, yk+1) прямою, що проходить крізь ці точки.

Рівняння прямої лінії можна представити у вигляді:



звідки:



Таким чином, знаючи два табличних значення yk і уk+1, що відповідають хk і хk+1, за допомогою наведеної формули (1.1) можна знайти значення функції для будь-якого значення х в інтервалі k, хk+1].
ПРИКЛАД

Завдання 1.1

Експериментальні (вихідні) дані зведено в наступну таблицю:



Знайти значення функції y, що відповідає значенню х=2,25.
Порядок виконання:

1. Записати заголовок роботи,

2. Увести дані таблиці на лист Excel-таблиці у тому ж вигляді, як на паперовому аркуші.

3. Під таблицею у комірку зробити запис значення "х=", поряд у окрему комірку увести число 2,25. Нижче під коміркою "х=" зробити запис "у=". Виділити комірку праворуч від запису "у=" і увести формулу для обчислення. Тобто зробити такий запис:

=(yk*(x-xk+1)-yk+1*(x-xk))/(xk-xk+1) де замість змінних увести адреси комірок, у яких знаходяться відповідні їм числові значення. Адреси комірок можна указувати двома шляхами: записувати вручну з клавіатури або указуючи табличним курсором на потрібну комірку лівою клавішею «миши».

Після уведення в виділену комірку формули і завершення цього уводу натиском клавіші "Enter" отримаємо значення функції y. Перевірку на адекватність студент здійснює за потраплянням значення у в інтервал k, уk+1].
Контрольні завдання:

Експериментальні дані зведені в наступні таблиці:

1



а) x = 4; б) x = 7,2 ; в) x = 11,15; г) x = 12,9; д) x = 16; е) x = 20; ж) x = 22,3; y=?

2



а) x = 2,8; б) x = 5,1 ; в) x = 7,2; г) x = 10,0; д) x = 13,4; е) x = 16,1; y=?

3



а) x = 0,3 ; б) x = 1,1 ; в) x = 2,76 ; г) x = 3,45; д) x = 4,17 ; е) x = 5,23; y=?

Перед началом лабораторної роботи студент отримує варіант, наприклад, ^ 1 в), де 1 – номер таблиці, в) – позначення аргументу, для якого потрібно знайти відповідне значення функції. Лівий і правий край інтервалу k, хk+1], що необхідні для розрахунків, знаходяться як найближчі значення в таблиці до заданого х. Знайденому таким чином табличному інтервалу k, хk+1] відповідає табличнийk, уk+1]. Варіант можна обрати самостійно за умов відсутності повторення та спеціальних вказівок викладача.

^ 1.2. Інтерполяція за методом Лагранжа

Уточнити результат, що одержаний при використанні лінійної інтерполяції, можна шляхом апроксимації істиної кривої більш складною лінією, що описується многочленом n-ного ступеню. Методи пошуку єдиного многочлена n-того ступеню Рn(х), що апроксимує функцію f(x) кривою, яка проходить крізь усі п+1 задані у таблиці точки (xi, yi), де і=0, 1, ..., п. У цьому випадку кажуть, що многочлен задовольняє умовам: Pn(xi)=yi при і=0, 1, ..., п.
Методи пошуку такого многочлена діляться на три групи:

  • методи Лагранжа;

  • різницеві методи;

  • ітераційні.

Розглянемо інтерполяцію за Лагранжем.

Вважають, що функція f(x) і поліном Рn(х)=a0+a1*x+a2*x2+…+an*xn близькі, якщо вони співпадають на заданій системі точок x0, x1, x2,… xn. Ці точки називають вузлами інтерполяції. Отже, задача інтерполяції у цьому випадку формулюється так:

для даної функції f(x) знайти поліном Рn(х) якомога нижчого степеню п, що приймає в заданих точках х, (і=0, 1, ..., п, хi≠xj при і≠j) ті ж значення, що і f(x), тобто такий, що

Рn(х)= f(xi) де (і=0, 1, ..., п).
Коефіцієнти аi такого інтерполяційного полінома Рn(х) визначають із системи

Поліном Ln(х) коефіцієнти якого визначаються з системи (1.2) називається інтерполяційним поліномом Лагранжа для функції f(x) і може бути записаний у явному вигляді так:


Чи так:



де xзначення аргументу, для якого треба визначити y

Для розрахунків коефіцієнтів за цією формулою слід створити таблицю, яка має такий загальний вигляд для заданого значення х:
Допоміжна таблиця для обчислювання коефіцієнтів поліному Лагранжа

Чисельник

Добуток

Чисель-

ника

Знаменник

Добуток Знамен-ника

ai

ai*yi

y

x1

x2

x3



xn




x

x1

x2

x3



xn










y1

1

x-x2

x-x3



x-xn




x1

1

x1-x2

x1-x3



x1-xn




а1




y2

x-x1

1

x-x3



x-xn




x2

x2-x1

1

x2-x3



x2-xn




а2










1




























yn

x-x1

x-x2

x-x3



x-xn




xn

xn-x1

xn-x2

xn-x3



1




an





Врешті розраховується сума ai*yi , яка і дорівнює у.
З таблиці видно, що для знаходження коефіцієнтів аi, при yі у формулі Лагранжа слід добуток виразів, що розміщені у клітинках строк уi частини таблиці з назвою «Чисельник», поділити на добуток чисел, що знаходяться у відповідній строчці xі з частини таблиці з назвою «Знаменник».
ПРИКЛАД

Завдання 1.2: Досліджуючи швидкості гідрування жирних кислот з різним положенням подвійною зв'язку (позиційна ізомеризація), отримали кількісні характеристики залежності концентрації жирних кислот з положенням подвійного зв'язку С11 від ступеню насиченості олії:

Й.Ч. гідрогенізату, г J2/100г.

x

82,7

65,4

54,2

43,2

41,1

26,5

Вміст жирних к-т, С11,%

y

3,3

2,4

5,2

2,6

1,6

0,5


Визначити інтерполяційний поліном Лагранжа та розрахувати концентрацію жирних кислот з положенням подвійного зв'язку С11 при значенні йодного числа гідрогенізату Й.Ч. = 62 г J2/100г.
Порядок виконання:

1. Записати заголовок роботи, наприклад: Визначення вмісту жирних кислот С11 у гідрогенізаті а допомогою інтерполяційного поліному Лагранжа для рівновіддалених точок.

2.Увести таблицю експериментальних вихідних даних (вертикально) з окресленням меж і назвами колонок. Окремо записати в комірці значення аргументу, для якого треба знайти значення функції (за отриманим завданням).

3.Записати загальний вигляд поліному так:

Загальний вигляд поліному Лагранжа: у = а11 + а22 + а33 + ... + а66

4. Зробити допоміжну таблицю (з окресленням меж) для обчислення коефіцієнтів полінома.
В колонку «х» - скопіювати дані з початкової таблиці.

В колонки «Чисельник» та «Знаменник» увести формули =х-xi та iji відповідно, указуючи адреси чисел. Під час розповсюдження формули вниз слід урахувати абсолютну адресу для х і відносні адреси для xi, натискуючи після указування адреси комірки F4.

Після розповсюдження, по діагоналі клітинки поверх інформації увести цифру «1», як показано у прикладі таблиці.

У колонках «Добуток чисельника» і «Добуток знаменника» увести формулу множення чисел у строках. Для прискорення створення такої формули слід скористатися «Майстром функцій fx», де у категорії «Математичні» знайти функцію «ПРОИЗВЕД» і виділити необхідний масив чисел.

У верхню комірку для розрахунку а1 увести формулу = адреса комірки «Добуток чисельника» / адреса комірки «Добуток знаменника». Далі розповсюдити вниз по всіх нижніх коефіцієнтах цю формулу, захопивши курсор у вигляді + (правий нижній куточок комірки) і потягнувши вниз.

6. В колонку ai*yi увести формулу добутку коефіцієнта на відповідне значення функції із попередньої таблиці.

7. Виділивши останню колонку чисел та скориставшись функцією автосумування, внизу можна отримати значення функції у для заданого аргумента х = 62.

Для наочності інформації слід ліворуч від комірки кінцевого результату увести «Для х = 62 у = ».

8.Сформулювати висновок, у якому слід показати загальний вигляд поліному з отриманими коефіцієнтами і результати його обчислення.
^ Контрольні завдання:
1 Варіант: Залишити вихідні дані з Лабораторної роботи «лінійна інтерполяція»

2 Варіант: Залишити задачу, надану у прикладі, узявши будь-яке з Йодних чисел гідрогенізату:

X= 1)80,8; 2)78,4; 3)73,1; 4)70,5; 5)69,8; 6)66,3 7)64,0; 8)62,5; 9)61,1; 10)59,0; 11)58,5 12)56,4; 13)52,9; 14)51,2; 15)49,7; 16)46,8; 17)43,4; 18)42,0; 19)37,2; 20)35,1; 21)27,4

^ 1.3 Інтерполяція за поліномом Ньютона для рівновіддалених точок аргументу

Для випадку рівновіддалених вузлів xi = хо + i*h (і = 0, 1,..., п) поліном Лагранжа може бути записаний у вигляді інтерполяційного полінома Ньютона:


Де ;

Кінцеві різниці порядків:

;





, і = 0, 1,..., п

Для обчислення значення відшукуваної функції з використанням інтерполяційного поліному Ньютона застосовують метод розділених різниць. Для цього складають таблицю кінцевих різниць.

ПРИКЛАД

Завдання 1.3 : Досліджуючи швидкість гідрування соняшникової олії отримали кількісні характеристики зміни ступеню насиченості жиру у часі:



Використовуючи інтерполяційний поліном Ньютона, визначити йодне число гідрогенізату при t = 1,8 години. Створити середовище для визначення значень функції будь-якої точки аргументу.

Порядок виконання:
1. Записати заголовок роботи, наприклад, «Визначення йодного числа гідрогенізату шляхом інтерполяції з використанням поліному Ньютона»

2. Записати задачу та увести Таблицю початкових данихвертикальному

вигляді).

3. Увести наступні дані у вигляді таблиці (Допоміжна таблиця):

=




=




=




h=




q=




де х - задана числова характеристика аргументу;

та - окреслюють в Таблиці початкових даних числові границі, де знаходиться значення х;

h - крок зміни аргументу, розраховується за формулою: h =

q - розраховується за формулою:
4. Записати заголовок: Таблиця кінцевих різниць і під ним скласти таку таблицю:


п/п

t(x)

Й.Ч.(y)













Ф

(q - і)

ЧМП


МП

Й.Ч.

1








































2








































3








































4








































5








































6








































7







































5. Для прискорення обчислення результату слід увести до Таблиці кінцевих різниць колонки «Ф», «(q – і)», «ЧМП»


1-ша колонка - з назвою «Ф», для обчислення факторіалу шляхом уведення формули використанням майстра функцій f(x), категорії «математичні» і вибору функції «ФАКТР» указуючи адресу відповідної комірки з колонки порядкового номеру.

2-га колонка - з назвою (q - і) для обчислення різниць (q - і), тобто (q - 1), (q - 2) і т. д. У верхню комірку колонки слід увести формулу різниці між числом q і відповідним порядковим номером, указуючи на адреси цих чисел, при чому адресу числа q слід зробити абсолютною (постійною). Далі результат розповсюдити вниз до кінця таблиці.

3-тя колонка - з назвою «ЧМП», тобто «чисельник множника поліному» - у верхню комірку слід увести формулу = q, указавши адресу цього числа; у другу комірку слід увести формулу = q * (q - 1), причому значення числа q слід тепер взяти з відносною адресацією першої комірки цієї ж колонки, а значення виразу (q - 1) - з відповідної комірки сусідньої колонки. Далі розповсюдити значення до кінця таблиці.

4-та колонка - з назвою «МП», тобто «множник поліному» - у верхню комірку слід увести структуру формули = ЧМП/1!, указуючи відносні адреси цих чисел з колонок «ЧМП» та «Ф». Далі розповсюдити до кінця таблиці.

5-та колонка - з назвою «Значення ^ Й.Ч.».

6. Виділити приємним кольором в таблиці строку, що відповідає значенню хk У цій строці будемо в комірці останньої колонки обчислювати значення Й.Ч. для заданого часу (х). У відповідній комірці слід увести формулу, використовуючи зроблені заготовки:

ЙЧ=y(xk)+МП1*+МП2*+МП3*+МП4*+МП5*+МП6*

Значення МП необхідно указати з абсолютною адресацією для можливості подальшого використовування цієї формули.

7. Сформулювати висновки.
Контрольні завдання:

Залишити задачу, надану у прикладі, узявши будь-який час гідрування:

X= 1)0,3; 2)0,4; 3)0,7; 4)0,87; 5)0,92; 6)1,2 7)1,4; 8)1,45; 9)1,67; 10)1,8; 11)1,9 12)1,98; 13)2,1; 14)2,24; 15)2,57; 16)2,7; 17)2,9

Схожі:

Прямою, що проходить крізь ці точки. Рівняння прямої лінії можна представити у вигляді: звідки: Таким чином, знаючи два табличних значення y iconПрямою, що проходить крізь ці точки. Рівняння прямої лінії можна...
...
Прямою, що проходить крізь ці точки. Рівняння прямої лінії можна представити у вигляді: звідки: Таким чином, знаючи два табличних значення y icon4. 1 Різні види рівнянь прямої на площині
Рівняння F(X, y)=0 називається рівнянням лінії, яка задана на площині відносно системи координат, якщо це рівняння задовольняють...
Прямою, що проходить крізь ці точки. Рівняння прямої лінії можна представити у вигляді: звідки: Таким чином, знаючи два табличних значення y iconІснування площини, яка проходить через дану пряму І дану точку
Доведемо методом від супротивного. Припустимо, що ав І сd тоді за аксіомою через прямі ав І cd можна провести Отже, точки А, В, С,...
Прямою, що проходить крізь ці точки. Рівняння прямої лінії можна представити у вигляді: звідки: Таким чином, знаючи два табличних значення y iconПлан відпрацювання пропущених тем під час вимушених канікул у зв’язку з карантином
Побудувати проекцію квадрата abcd, знаючи пропорції його вершин а в І точки перетину діагоналей О; точки А1, В1, О1
Прямою, що проходить крізь ці точки. Рівняння прямої лінії можна представити у вигляді: звідки: Таким чином, знаючи два табличних значення y icon1. Шахи
Таким чином можна вирахувати значення кількостей для n від 2 до 7 за час туру олімпіади, задати ці кількості сталими у коді програми...
Прямою, що проходить крізь ці точки. Рівняння прямої лінії можна представити у вигляді: звідки: Таким чином, знаючи два табличних значення y icon1. Проінтегрувати рівняння
Це рівняння є лінійним відносно у, І його можна звести до лінійного рівняння відносно
Прямою, що проходить крізь ці точки. Рівняння прямої лінії можна представити у вигляді: звідки: Таким чином, знаючи два табличних значення y iconПрограми записати у зошит та виконати на пк. Завдання Об'єднати два...
Знайти (произведение) добуток елементів одновимірного масиву В(12), що мають непарні індекси
Прямою, що проходить крізь ці точки. Рівняння прямої лінії можна представити у вигляді: звідки: Таким чином, знаючи два табличних значення y iconДержавний стандарт загальної середньої освіти
Види програмного забезпечення, розташованого в мережі, можна розподілити таким чином
Прямою, що проходить крізь ці точки. Рівняння прямої лінії можна представити у вигляді: звідки: Таким чином, знаючи два табличних значення y iconВідповіді до екзамену з дисципліни «Фізика»
Прямолінійний рух – це рух при якому тіло(точка) за будь-які рівні І нескінченні малі проміжки часу проходить однакову відстань....
Прямою, що проходить крізь ці точки. Рівняння прямої лінії можна представити у вигляді: звідки: Таким чином, знаючи два табличних значення y iconЦі теорії ґрунтуються на вивченні потреб людини, що є основним мотивом...
Змістовні теорії мотивації являють собою спроби визначити І класифікувати потреби людей, що спонукають їх до дій. Знаючи потреби...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Школьные материалы


База даних захищена авторським правом © 2014
звернутися до адміністрації
uchni.com.ua
Головна сторінка