1. 1Походження поняття похідної




Скачати 37.71 Kb.
Назва1. 1Походження поняття похідної
Дата конвертації09.03.2013
Розмір37.71 Kb.
ТипДокументы
uchni.com.ua > Математика > Документы

1.1Походження поняття похідної



Ряд задач диференціального вирахування був вирішений ще в стародавності. Основне поняття диференціального вирахування – поняття похідної – виникло в XVII ст. у зв'язку з необхідністю вирішення ряду задач з фізики, механіки і математики, у першу чергу наступних двох: визначення швидкості прямолінійного нерівномірного руху і побудови дотичної до похідної плоскої кривої.

Перша з цих задач була уперше вирішена Ньютоном. Функцію він називав флюентою, тобто поточною величиною (від латинського fluere - текти), похідну ж - флюксіей (від того ж fluere). Ньютон позначав функції останніми літерами латинського алфавіту u, x, y, z, а їх флюксії, тобто похідні від флюент за часом, - відповідно тими ж літерами з крапкою над ними:

Для доказу свого правила Ньютон, випливаючи в основному з Ферма, розглядає нескінченно малий приріст часу dt, що він позначав знаком х0, відмінним від нуля. Вираз x0, що позначається нині і називається диференціалом (dx), Ньютон називав моментом. Ньютон прийшов до поняття похідної, виходячи з питань механіки. Свої результати в цій області він виклав у трактаті, названому їм «Метод флюксій і нескінченних рядів», що був складений близько 1671 р. Припускають, що Ньютон відкрив свій метод флюксій ще в середині 60-х років XVII в., однак вищезгаданий його трактат був опублікований посмертно лише в 1736 р.

Математиків XV - XVII ст. довго хвилювало питання про перебування загального методу для побудови дотичної в будь-якій точці кривої. Задача ця була зв'язана також з вивченням рухів тіл і з відшуканням екстремумів найбільших і найменших значень різних функцій.

Деякі окремі випадки вирішення задач були дані ще в стародавності. Так у «Початках» Евкліда дан спосіб побудови дотичної до окружності, Архімед побудував дотичну до спіралі, що носить його ім'я, Аполлоній - до еліпса, гіперболи і параболи. Однак давньогрецькі вчені не вирішили задачу до кінця, тобто не знайшли загального методу, придатного для побудови дотичної до будь-якої плоскої кривої в похідній її точці. Із самого початку XVII в. чимало вчених, у тому числі Торрічеллі, Вивиани, Роберваль, Барроу, намагалися знайти вирішення питання, прибігаючи до кінематичних міркувань. Перший загальний спосіб побудови дотичної до алгебраїчної кривої був викладений у «Геометрії» Декарта. Більш загального і важливим для розвитку диференціального вирахування був метод побудови дотичних Ферма.

Ґрунтуючись на результатах Ферма і деяких інших висновках, Лейбниц значно повніше своїх попередників вирішив задачу, про яку йде мова, створивши відповідний алгоритм. У нього задача знаходження tg , тобто кутового коефіцієнта дотичної в точці М, до плоскої кривої, обумовленою функцією , зводиться до знаходженню похідної функції y по незалежній змінній x при даному її значенні (або в даній точці) x = x1.

Теорема 1.Якщо функція має в точці х0 локальний екстремум, то або , або не існує.

Проте виявляється, що цього недостатньо, бо може , а функція в цій точці екстремуму не має.


Точки, в яких функція визначена та неперервна, і в цих точках або не існує, називаються критичними для функції.

Приклад 1. Дослідити на екстремум функцію



Розв’язання. Функція визначена і диференційована на R. Знайдемо її похідну:

.

Знайдемо нулі похідної:

х2+х-2=0, х1=-2 х2=1.

Отже, функція f має дві критичні точки х1=-2,х2=1.

Оскільки похідна є квадратним тричленом з додатним коефіцієнтом при х2, то на інтервалах , а на інтервалі (-2;1) .

Похідна неперервна на R і при переході через критичну точку змінює знак на протилежний.

Оскільки при переході через критичну точку х=-2 похідна змінює знак з плюса на мінус, то в цій точці функція має локальний максимум.

.

При переході через точку х=1 похідна змінює знак з мінуса на плюс. Тому в цій точці функція f має локальний мінімум.



Приклад 2. Знайти проміжки зростання та спадання функції

Розв’язання. Функція визначена і диференційована на множені R.

Знайдемо її похідну

.

Нулями похідної є х1=1, х2=.

Оскільки похідна неперервна, то вона зберігає знак на інтервалах . Оскільки похідна задана квадратним тричленом з додатним коефіцієнтом при х2, то вона набуває додатних значень поза коренями, тобто на інтервалах і від’ємних між коренями, тобто на інтервалі .

Отже , на інтервалах функція f зростає, а на інтервалі – спадає.

Схожі:

1. 1Походження поняття похідної iconУрок №3 Тема уроку: Задачі, які приводять до поняття похідної. Поняття...
Ввести поняття похідної та з’ясувати її механічний, геометричний та економічний зміст
1. 1Походження поняття похідної icon11 клас Алгебра. І семестр
Задачі, що приводять до поняття похідної. Похідна функції, її механічний та геометричний зміст
1. 1Походження поняття похідної iconОсновною задачею диференціального числення є знаходження похідної...
Основною задачею диференціального числення є знаходження похідної заданої функції. Одна з фізичних трактувань цієї задачі – визначення...
1. 1Походження поняття похідної iconІлюстрації: М. Корнева та Н. Худяка
Дік Гордон підняв важку голову з похідної подушки І непевним голосом, що в ньому ще боролися свідомість І глибокий сон втомленої...
1. 1Походження поняття похідної iconДайте означення похідної. Який фізичний зміст має похідна?
Як можна дослідити функцію на зростання, застосовуючи похідну та її геометричний зміст. Зробіть рисунок
1. 1Походження поняття похідної icon"Ознаки І поняття (укр.)"
Будь-які елементи обсягу поняття, які виділяють на підставі специфічних ознак, що не входять до змісту цього поняття
1. 1Походження поняття похідної iconЛогіка. Програма курсу для 2-4 класів загальноосвітньої школи з міст...
Поняття та його ознаки. Зміст, обсяг поняття. Родове І видове поняття. Види понять: загальні, конкретні, одиничні, збірні, абстрактні....
1. 1Походження поняття похідної iconТема. Геометричний І фізичний зміст похідної
Мета: систематизувати знання учнів з теми й підготувати їх до контрольної роботи; показати учням, наскільки ця тема важлива при розв'язанні...
1. 1Походження поняття похідної iconПлан стор. Вступ 3 Розділ Поняття права 5 1 Різноманітність підходів...
Право, як І держава, належить до числа не тільки найважливіших, але І найскладніших суспільних явищ
1. 1Походження поняття похідної iconТехніка. Поняття про механізми
Мета: сформувати поняття про механізми, їх види, призначення та застосування в техніці, уміння розрізняти та пояснювати сут­ність...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Школьные материалы


База даних захищена авторським правом © 2014
звернутися до адміністрації
uchni.com.ua
Головна сторінка