II. Поняття про натуральні числа




Скачати 75.79 Kb.
НазваII. Поняття про натуральні числа
Дата конвертації13.03.2013
Розмір75.79 Kb.
ТипДокументы
uchni.com.ua > Математика > Документы
I. Таблиця множення

II.Поняття про натуральні числа
Числа, які використовуються при лічбі предметів, називаються натуральними. Будь-яке натуральне число можна записати за допомогою десяти цифр:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Такий запис чисел називають десятковим. Треба запам'ятати, що число 0 не є натуральним.
Для читання натуральних чисел їх розбивають, починаючи справа, на групи по три цифри в кожній (у крайній зліва групі може бути одна чи дві цифри). Три перші цифри справа утворюють клас одиниць, три наступні - клас тисяч, потім - класи мільйонів, мільярдів і т.д.
1 мільйон (1 млн.) = 1 000 000

1 мільярд (1 млрд.) = 1 000 000 000

1 трильйон (1 трлн.) = 1 000 000 000 000
Наприклад, число 23 078 000 104. Його читають: 23 мільярди 78 мільйонів 104.


Класи

Мільярди

Мільйони

Тисячі

Одиниці

Розряди

с

д

о

с

д

о

с

д

о

с

д

о

Число

-

2

3

о

7

8

0

0

0

1

0

4



с - сотні, д - десятки, о - одиниці
Приклади:
а) Число 100 005 читають так: сто тисяч п'ять.

б) Число 1 000 050 читають так: один мільйон п'ятдесят.

в) Число 10 000 005 000 читають так: десять мільярдів п'ять тисяч.
III.Додавання натуральних чисел
Якщо додати до натурального числа одиницю, то отримаємо наступне за ним число.

Наприклад, 8 + 1 = 9; 53 + 1 = 54; 399 + 1 = 400.

Таким чином, додати, наприклад, 9 і 4 означає додати до 9 чотири рази одиницю. Одержимо: 9 + 4 = 9 + 1 + 1 + 1 + 1 = = 13.

Звичайно, що це записують коротше:
9 + 4 = 13.
Числа які додають, називають доданками; число, яке отримують при додаванні цих чисел, називають їх сумою.
У записі 9 + 4 = 13 числа 9 і 4 доданки, число 13 - сума.

У загальному випадку дія додавання запишеться:

При додаванні багатоцифрових чисел використовують спосіб додавання стовпчиком.
Приклади:

При усному розрахунку можна додавати числа порозрядно.
Приклади:
а) 58 + 74 = (50 + 70) + (8 + 4) = 120 + 12 = 132;

б) 453 + 865 = (400 + 800) + (50 + 60) + (3 + 5) = 1200 + 110 + 8 = 1318.
IV.Віднімання натуральних чисел
Дію, за допомогою якої за сумою і одним із доданків знаходять другий доданок, називають відніманням.

Віднімання – це дія, обернена додаванню.

Тобто: "від 7 відняти 3" означає: "знайти таке число, яке в сумі з 3 дає в результаті 7".
7 - 3 = х; х + 3 = 7; х = 4.
Отже, 7 - 3 = 4.
Число, від якого віднімають, називається зменшуваним, а число, яке віднімають, - від'ємником. Результат віднімання називають різницею.



тобто с + b = a.
При діях з натуральними числами зменшуване не може бути меншим, ніж від'ємник.

Різниця двох чисел показує, на скільки перше число більше, ніж друге, чи на скільки друге число менше, ніж перше.
Приклади:
а) 101 - 13 = 88, оскільки 88 + 13 = 101;

б) 34 - 0 = 34, оскільки 34 + 0 = 34;

в) 573 - 573 = 0, оскільки 0 + 573 = 573.
При відніманні багатоцифрових чисел результат зручно знаходити способом віднімання стовпчиком:



V.Множення натуральних чисел
Правило: Помножити число m на натуральне число n - означає знайти суму n доданків, кожен із яких дорівнює m.
Вираз m · n і значення цього виразу називають добутком чисел m і n. Числа m і n називають множниками.
Приклади:
а) 5 · 4 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20;

б) 7 · 1 = 7.
Очевидно, що 5 · 4 = 4 · 5, що зрозуміло з рисунка:

При письмовому множенні результат зручно одержувати стовпчиком.
Приклади:

^ Треба запам'ятати, що
a · 0 = 0, a · 1 = a.

Поглиблення знань

При усному множенні потрібно знати, що:
1) при множенні на 10 в результаті до числа справа дописується 0:
48 · 10 = 480;
2) при множенні на 100 в результаті до числа справа дописуються два 0:
576 · 100 = 57 600
і т.д.;
3) при множенні на 15 число спочатку множать на 10, а потім додають половину одержаного числа:
496 · 15 = 4960 + 2480 = 7440;
4) при множенні на 5 число спочатку множать на 10, а потім беруть половину одержаного числа:
38 · 5 = 380 : 2 = 190;
5) при множенні на 25 число спочатку множать на 100, а потім беруть четверту частину одержаного числа:
17 · 25 = 1700 : 4 =425;
6) при множенні на 50 число множать на 100, а потім беруть половину одержаного числа:
435 · 50 = 43 500 : 2 = 21 750.
Щоб позначити дію множення, використовують два знаки: · і х. Знак х вперше використав у своїх роботах як знак, що означає множення, Оутред. Знак · з'явився в 1698 р. Його ввів німецький математик Ґотфрід Вільгельм Лейбніц.
VI.Ділення натуральних чисел
Ділення - дія, обернена до множення. За її допомогою можна знайти один із двох множників, якщо відомі добуток та інший множник.
Таким чином, "24 поділити на 8 - означає знайти таке число, що при множенні його на 8 одержимо 24", тобто:
24 : 8 = х, х · 8 = 24, х = 3.
Отже, 24 : 8 = 3.
Приклади:
а) 105 : 15 = 7, оскільки 7 · 15 = 105;

б) 0 : 8 = 0, оскільки 0 · 8 = 0.
Треба запам'ятати, що
0 : а = 0, якщо а ≠ 0
а : 0 - не можна!
Отже, а : b = с, причому с · b = а; а - ділене, b - дільник, с - частка.
Приклад: 48 : 6 = 8, 48 - ділене, 6 - дільник, 8 - частка.
Таким чином, записи 76 : 19 і означають одне і те ж. Переваги запису ділення через риску ви побачите згодом.
Отже,



Приклади:
а) 90 : 5 = (50 + 40) : 5 = 50 : 5 + 40 : 5 = 10 + 8 = 18;

б) 165 : 3 = (150 + 15) : 3 = 150 : 3 + 15 : 3 = 50 + 5 = 55.
Якщо ділене і дільник закінчуються нулями, то ділення виконується без останніх нулів.
Приклади:
а) 480 : 12 = 40, оскільки 48 : 12 = 4;

б) 460 : 230 = 46 : 23 = 2;

в) 800 : 40 = 80 : 4 = 20.
Але при діленні натурального числа а на натуральне число b може трапитись, що не існує такого натурального числа с, що с · b = а, наприклад, 15 : 7. У цьому випадку йдеться про ділення з остачею. Це записується:
15 : 7 = 2 (ост. 1) чи 660 : 50 = 13 (ост. 10).
Зверніть увагу на наявність нуля в остачі у другому прикладі.
Треба запам'ятати, що якщо а - ділене, b - дільник, с - неповна частка, r - остача, то а = с · b + r. Причому остача завжди менша дільника, тобто, r < b. Значить, при діленні, наприклад, на число 7 можливі остачі: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6.
Приклади:
а) 48 : 7 = 6 (ост. 6);

б) 81 : 7 = 11 (ост. 4).
Якщо в остачі одержали число 0, то говорять, що одне число поділилось на друге націло. Наприклад, 35 : 7 = 5 (ост. 0), пишемо просто 35 : 7 = 5.


Приклади:

^ Поглиблення знань
Знак ділення : вперше ввів у 1202 р. в своїх роботах Леонардо Пізанський. Однак існує ще один знак ділення —, вперше введений У. Джонсом у 1633 р.
VII.Властивості дій над числами
1. Переставна властивість
Правило: Сума чисел не зміниться при перестановці доданків.
a + b = b + a
Приклад: 308 + 1427 = 1427 + 308.
При будь-якому способі додавання результат дорівнює 1735.
Правило: Добуток чисел не зміниться при перестановці множників.
a · b = b · a
Приклад: 14 · 108 = 108 · 14.

^ 2. Сполучна властивість
Правило: Щоб додати до суми двох чисел третє число, можна до першого числа додати суму другого і третього.
(a + b) + c = a (b + c)
Приклади:
а) (327 + 84) + 116 = 327 + (84 + 116) = 327 + 200 = 527;

б) (4083 + 576) + 5917 = (576 + 4083) + 5917 = 576 + (4083 + 5917) = 576 + 10 000 = 10 576.
Правило: Щоб помножити добуток двох чисел на третє число, можна перше число помножити на добуток другого і третього.
(a · b) · c = a · (b · c)
Приклади:
а) (7 · 25) · 8 = 7 · (25 · 8) = 7 · 200 = 1400;

б) (50 · 23) · 40 = (23 · 50) · 40 = 23 · (50 · 40) = 23 · 2000 = 46 000.
^ 3. Розподільна властивість
Правило: Щоб помножити суму двох чисел на число, можна помножити на це число кожен із доданків і додати одержані добутки.
(a + b) · c = a · c + b · c
Приклади:
а) (17 + 8) · 5 = 17 · 5 + 8 · 5 = 85 + 40 = 125;

б) 24 · 19 + 76 · 19 = (24 + 76) · 19 = 100 · 19 = 1900.
Правило: Щоб помножити різницю двох чисел на число, можна помножити на це число зменшуване і від'ємник і від першого добутку відняти другий.
(a - b) · c = a · c - b · c
Приклади:
а) (28 - 19) · 3 = 28 · 3 - 19 · 3 = 84 - 57 = 27;

б) 317 · 213 - 217 · 213 = (317 - 217) · 213 = 100 · 213 = 21 300.
VIII. Степінь
Запис а, де а - довільне число, n - натуральне число, називають степенем. Причому число n називають показником степеня, а - основою степеня.
Запис а означає добуток n множників, кожен з яких дорівнює а, тобто


Приклади:

а) 4 = 4 · 4 · 4 = 64;

б) 3 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243.

Схожі:

II. Поняття про натуральні числа iconМатематичні константи
Натуральні числа Натуральними називають числа, що використовуються при рахуванні предметів. Це числа: 1, 2, 3, 4, в математиці множина...
II. Поняття про натуральні числа icon1. натуральні числа. Геометричні фiгури І величини натуральні числа....
Вивчення математики в основній школі має забезпечити базову математичну підготовку учнів, що спрямована на їх загальний розвиток,...
II. Поняття про натуральні числа icon1. натуральні числа. Геометричні фiгури І величини натуральні числа....
Вивчення математики в основній школі має забезпечити базову математичну підготовку учнів, що спрямована на їх загальний розвиток,...
II. Поняття про натуральні числа iconЛекція з математики №1 Натуральні числа. Ознаки подільності Автори:...
Числа, використовувані при лічбі предметів, називають натуральними. Зображають їх символами
II. Поняття про натуральні числа iconЛекція з математики №4 Подільність -1
Для того, щоб успішно розв'язувати задачі на подільність, необхідно згадати, користуючись підручником, які числа називаються простими...
II. Поняття про натуральні числа icon64     І. Натуральні числа І дії з ними. Геометричні фігури І величини

II. Поняття про натуральні числа iconТема уроку
Ознаки І властивості предметів. Множини. Геометричні фігури. Натуральні числа 1-10 І число 0
II. Поняття про натуральні числа iconМіністерство освіти І науки, молоді та спорту України Державний вищий навчальний заклад
Натуральні числа І нуль. Читання І запис натуральних чисел. Порівняння натуральних чисел. Дії над натуральними числами
II. Поняття про натуральні числа iconПлан стор. Вступ 3 Розділ Поняття права 5 1 Різноманітність підходів...
Право, як І держава, належить до числа не тільки найважливіших, але І найскладніших суспільних явищ
II. Поняття про натуральні числа iconНатуральні числа. Відрізок
Завдання початкового та середнього рівнів навчальних досягнень учнів подані у тестовій формі. Цінність таких завдань полягає у тому,...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Школьные материалы


База даних захищена авторським правом © 2014
звернутися до адміністрації
uchni.com.ua
Головна сторінка