Міністерство освіти І науки України




Скачати 246.06 Kb.
НазваМіністерство освіти І науки України
Сторінка1/3
Дата конвертації31.03.2013
Розмір246.06 Kb.
ТипДокументы
uchni.com.ua > Математика > Документы
  1   2   3



Міністерство освіти і науки України

Мала академія наук України
Хмельницьке територіальне відділення

Малої академії наук України
Білогірська районна філія

Секція «Математика»

Рівняння

зі знаком модуля


Роботу виконала

Андрійчук Наталія Володимирівна, учениця 9 класу

Квітневської ЗОШ І-ІІІ ступенів
Науковий керівник:

вчитель математики

Якимчук Людмила Володимирівна
смт. Білогір'я

2010 р.

Зміст

Тези…………………………………………………………………………2

Вступ………………………………………………………………………..4

Розділ 1. Означення модуля дійсного числа……………………………5

  • Висновки до розділу 1…………………………………..8

Розділ 2. Геометричний зміст модуля дійсного числа…………………8

  • Висновки до розділу 2………………………………….10

Розділ 3. Розв’язування рівнянь зі знаком модуля за допомогою означення………………………………………………………. ………10

  • Висновки до розділу 3…………………………………12

Розділ 4.Теореми про рівносильніcть рівнянь та нерівностей зі знаком модуля…………………………………………………………………...14

  • Висновки до розділу 4…………………………………17

Розділ 5. Ще один спосіб розв'язування рівнянь зі знаком модуля…17

  • Висновки до розділу 5…………………………………18

Розділ 6. Графічний метод розв’язування рівнянь зі знаком модуля.....18

  • Висновки до розділу 6…………………………………21

Розділ 7. Нестандартні задачі……………………………………………22

  • Висновки до розділу 7…………………………………24

Висновки…………………………………………………………………25

Список використаної літератури……………………………………….26

Додатки…………………………………………………………………..27

Вступ

Серед задач, які зустрічаються на уроках математики, часто є задачі, для розв’язання яких потрібно не лише знання шкільної програми, а й творче застосування цих знань, зокрема при розв’язуванні рівнянь з модулями.

Це питання досить актуальне, тому що задачі такого типу зустрічаються в завданнях високого рівня на уроках , завданнях шкільних, районних олімпіад з математики, у завданнях для державної підсумкової атестації з математики.

В межах 9 класу нашої школи проведено опитування з даного питання. По результатах опитування складено діаграму. [9, 26].

Аналізуючи результати опитування, можна зробити висновки, що труднощі при розв’язуванні рівнянь з модулями мають абсолютно всі учні класу, прості рівняння з модулями вміють розв’язувати майже всі учні, а ось складніші рівняння викликають труднощі у багатьох, хоча подолати ці труднощі бажають не всі.

Тому доречно цю проблему дослідити більш глибоко.

Метою даної наукової роботи є:

  • на основі узагальнення наукових даних зробити критичний аналіз та власний вибір способів розв’язування рівнянь з модулем;

  • використання набутих знань для поглиблення вмінь та навичок розв’язування рівнянь з модулями;

  • робити самостійні висновки на основі критичного опрацювання наукових джерел, даних практичного досвіду.

Розділ 1. Означення модуля дійсного числа

Нехай a - довільне дійсне число.

Модулем невід'ємного числа а називається саме це число, модулем

від'ємного числа а називається число, йому протилежне.

Позначають модуль числа а символом |а|. Отже, за означенням



Це означення слід розуміти в тому сенсі, що модуль замінюється дужкою, перед якою стоїть знак плюс або мінус, в залежності від знаку внутрішнього виразу. Знання означення модуля вже дозволяє спрощувати вирази зі знаком модуля.

Приклад . Спростити вираз



Розв'язання. Розглянемо два можливі випадки:
1). Якщо а 2, то


=

2). Якщо а<2, то

А =

Зазначимо, що при записуванні відповіді обов'язково слід враховувати область допустимих значень даного виразу (ОДЗ). Так, в наведеному прикладі, область допустимих значень змінної а складається зі всіх значень а, для яких знаменник не дорівнює нулю, тобто а .

Відповідь: якщо а (-3)(-3;-l)(-l;2), то А =,

якщо а(2;), то А =.

Таким чином, модуль не стільки ускладнює приклад, як збільшує кількість прикладів, адже доводиться спрощувати не один вираз, а декілька. При цьому слід пам'ятати, що при збільшенні кількості модулів варто скористатись методом інтервалів, тобто розбити числову вісь на проміжки, на яких підмодульні вирази зберігають знак. У багатьох випадках це можна зробити усно, але якщо модулів багато, то зручно зобразити числову вісь, на якій відмічаються корені підмодульних виразів і для зручності можна відмітити також знаки підмодульних виразів.

Приклад 1. Спростити вираз



Розв'язання. Оскільки коренями підмодульних виразів є числа 0 і 1, та числова вісь розбивається на три інтервали.

1). Якщо х < 0, то

2). Якщо х, то
3) Якщо х>1, то

Область допустимих значень даного виразу складається зі всіх значень

змінної, крім х = та х = 1, при яких знаменник дорівнює нулю.

Відповідь: якщо х є (-;0), то А =

якщо х є [0;), то А =

якщо х є (1;), то А =

Отже, збільшення кількості модулів не є ускладненням прикладу, а лише збільшенням обсягу роботи.

Одним із прийомів, який дозволяє ускладнювати приклади, а також призводить до масових помилок при розв'язуванні вправ є використання формули =|А|.

Як правило часто забувають про знак модуля, тому бажано для профілактики розв'язувати прості вправи типу = ,= ,= для того, щоб звикнути до того, що рівність =|А| справедлива не для всіх значень А.

Приклад 2. Спростити вираз

А=.

Розв'язання. Корені підмодульних виразів х=0 та х = 6 розбивають числову вісь на три проміжки, тому маємо:

  1. Якщо х < 0, то А= –х+6+х = 6.

  2. Якщо х , то А = – х + 6 – х = 6 – 2х.

  3. Якщо х > 6, то А = х – 6 – х = –6.

Відповідь: якщо х < 0, то А=6,

якщо х , то А = 6-2х,

якщо х> 6, то А = –6 .

Приклад 3. Спростити вираз

.

Розв'язання. .

Зрозуміло, що цей приклад відрізняється від попереднього тільки тим, що

модуль було «замасковано».

Відповідь: якщо х(;0), то А = 6,

якщо х то А = 6 – ,

якщо х(),то А = –6.

У багатьох прикладах повний квадрат під знаком кореня також можна «замаскувати».

Висновки до розділу 1.

Збільшення кількості модулів не є ускладненням прикладу, а лише збільшенням обсягу роботи.

Одним із прийомів, який дозволяє ускладнювати приклади, а також призводить до масових помилок при розв'язуванні вправ є використання формули =|А|.

У багатьох прикладах повний квадрат під знаком кореня «замаскований».


Розділ 2. Геометричний зміст модуля дійсного числа

Кожному дійсному числу можна поставити у відповідність точку координатної прямої, яка є геометричним зображенням цього числа. Кожній точці чи­слової прямої відповідає її відстань від початку координат, або довжина відрізка, один з кінців якого лежить у початку координат, а другий - у даній точці. Довжина цього відрізка буде геометричною інтерпретацією модуля числа.

Щоб знайти довжину відрізка координатної прямої, треба від координати його правого кінця відняти координату його лівого кінця.

Якщо точка А з координатою а на координатній прямій лежить зліва від точки В з координатою b, то a<b і AB = ba.

Якщо точка А з координатою а на координатній прямій лежить справа під точки В з координатою b, то a>b і AB = ab.

Якщо ж точки А(а) і B(b) збігаються, то a = b і АВ = 0.

Об'єднуючи ці формули, маємо: AB = |ab| .

Отже, відстань між двома точками координатної прямої дорівнює модулю різниці координат цих точок.

Якщо точка ^ С(с) лежить між точками А(а) і В(b), то АС + СВ = АВ, тобто

Користуючись геометричним змістом модуля можна розв'язувати найпростіші рівняння та нерівності зі знаком модуля.
Приклад 4. Розв'язати рівняння |х -1| = 3.

Розв'язання. Задачу можна сформулювати так: на координатній прямій і найти координати точок, відстані від яких до точки з координатою 1 дорівнюють 3.

Таких точок буде дві. Одна з них лежить від точки з координатою 1 на три одиниці вправо, друга – на такій самій відстані вліво. Це точки з координатами

х = 4 та х = –2.

Відповідь: –2; 4.

Незважаючи на те , що наведений приклад є простим з точки зору розв'язання, він є доброю ілюстрацією зв'язку алгебраїчного та геометричного підходу до розв'язування рівнянь зі знаком модуля.
Приклад 5. Розв'язати рівняння |х +1| +|х –5| = 6.

Розв'язання. Дане рівняння рівносильне такому: |х –(–1)| +|х –5| = 6. Останнє рівняння означає, що на координатній прямій треба знайти координати точок, сума відстаней від яких до точок з координатами (–1) та 5 дорівнює 6. Оскільки відстань між точками (–1) та 5 дорівнює 6, то шуканими координатами будуть координати точок, які лежать між точками координатами (–1) та 5. Отже, дане рівняння має безліч розв'язків, причому розв'язками будуть координати всіх точок, які належать проміжку [–1;5].

Відповідь: х[–1;5].

Приклад 6. Розв'язати рівняння |102х| |8x –24| = 0.

Розв'язання. Дане рівняння рівносильне такому:

2|5х| — 8|x –3| = 0 або |х– 5| = 4|x –3| = 0.

Отже, на координатній прямій треба знайти координати точок, відстані від яких до точки з координатою 3 були б в чотири рази менші за відстані від точки з координатою 5.

Нехай шукана точка з координатою х лежить поза відрізком [3;5] вліво від точки з координатою 3 на відстані y, тобто |x–3|= y. Тоді |х–5| = у + 2 і дане

рівняння матиме вигляд у + 2 = 4 y, звідки у = , тобто х = 3 – = 2.

Нехай шукана точка з координатою х лежить всередині проміжку [3;5] на

відстані z (z2) від точки з координатою 3. Тоді |х – 3|= z, |x –5| = 2 – z і маємо рівняння 2 – z = 4z, звідки , тобто х = 3 + =.

Поза проміжком [3;5] справа від точки з координатою 5 лежать точки, відстані від яких до точки з координатою 3 більші, ніж до точки з координа­тою 5. Тому справа від точки з координатою 5 рівняння розв'язків не має.

Відповідь: 2 ; 3.


Висновки до розділу 2.

Користуючись геометричним змістом модуля можна розв'язувати рівняння зі знаком модуля. Приклади, розглянуті в тексті, є доброю ілюстрацією зв'язку алгебраїчного та геометричного підходу до розв'язування рівнянь зі знаком модуля.


Розділ 3. Розв’язування рівнянь зі знаком модуля за допомогою означення

У багатьох випадках для того, щоб розв'язати рівняння зі знаком модуля, достатньо скористатись означенням модуля.
  1   2   3

Схожі:

Міністерство освіти І науки України iconМіністерство освіти І науки україни пр. Перемоги
Міністерство освіти І науки, молоді та спорту Автономної Республіки Крим, департаменти (управління) освіти І науки обласних, Київської...
Міністерство освіти І науки України iconМіністерство освіти І науки україни пр. Перемоги
Міністерство освіти І науки, молоді та спорту Автономної Республіки Крим, управління (департаменти) освіти І науки, Київської, Севастопольської...
Міністерство освіти І науки України iconМіністерство освіти І науки україни пр. Перемоги
Міністерство освіти І науки, молоді та спорту Автономної Республіки Крим, управління освіти І науки обласних, Київської та Севастопольської...
Міністерство освіти І науки України iconМіністерство освіти І науки україни пр. Перемоги
Міністерство освіти І науки, молоді та спорту Автономної Республіки Крим, управління (департаменти) освіти І науки обласних, Київської...
Міністерство освіти І науки України iconСтр с. 180 Міністерство освіти І науки україни
З метою вдосконалення функціонування гімназій, ліцеїв, колегіумів Міністерство освіти І науки України роз’яснює застосування окремих...
Міністерство освіти І науки України iconМіністерство освіти І науки україни
Міністерство освіти І науки України надсилає для практичного використання інструктивно-методичні рекомендації щодо вивчення
Міністерство освіти І науки України iconМіністерство освіти І науки, молоді та спорту україни
Міністерство освіти І науки, молоді та спорту Автономної Республіки Крим, управління освіти І науки обласних, Київської та Севастопольської...
Міністерство освіти І науки України iconМіністерство освіти І науки україни
Міністерство освіти І науки України вносить наступні зміни І доповнення до Методичних рекомендацій із питань порядку формування штатів...
Міністерство освіти І науки України iconМіністерство освіти І науки україни лист
Міністерство освіти І науки України надсилає для практичного використання методичний лист “Організація та зміст навчально-виховного...
Міністерство освіти І науки України iconМіністерство освіти І науки України Національна академія наук України...
Відповідно до Положення про Міністерство освіти І науки України, затвердженого Указом Президента України від 07. 06. 2000 №773, постанови...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Школьные материалы


База даних захищена авторським правом © 2014
звернутися до адміністрації
uchni.com.ua
Головна сторінка