Київський університет імені Бориса Грінченка
Олександр Рудик
Аналіз статистичних даних і критерії прийняття гіпотез
Київ
2009
Передмова Цей посібник є конспектом лекцій, які автор прочитав студентам Київського міського педагог-гічного університету імені Б.Д. Грінченка. Перед знайомством з посібником бажано відновити у пам’яті базові поняття теорії ймо-вірностей: імовірнісний простір, подія, випадкова величина і її розподіл, сумісний розподіл випадко-вих величин, поняття про закон великих чисел і центральну граничну теорему. Ці питання студенти обов’язково вивчають перед знайомством з власне математичною статистикою. Для читача, який повсякденно не стикається з цими поняттями, таке знайомство бажане хоча б для впевненості у спроможності зрозуміти математичні основи викладених критеріїв. Цю впевненість створюють для психологічного комфорту, бо для спеціалістів-гуманітаріїв відповідні знання не є обов’язковими. Виклад матеріалу є само замкненим. Щоб скористатися статистичними критеріями для виконання наукового педагогічного дослідження, достатньо використати лише інформацію, викладену в посібнику. Враховуючи спрямованість спеціальностей студентів, автор обійшов питання обґрунтування критеріїв, а зосередився на їх стислому і прозорому викладі, зручному для практичного використання. Публікації інших авторів поряд з викладом статистичних критеріїв містять детальний опис прикладів їх використання (див.:
Гублер Е.В. Вычислительные методы анализа и распознавания патологических последствий. – Л.: Медицина, 1978. – 296 с.
Носенко И.А. Начала статистики для лингвистов. – М.: Высшая школа, 1981. – 157 с.
Рунион Р. Справочник по непараметрической статистике. – М.: Финансы и статистика, 1982. – 198 с.
Сидоренко Е.В. Математические методы обра-ботки в психологии. – СПб., Речь, 2001. – 349 с.
Стивенс С. Математика, измерение и психо-физика. Экспериментальная психология / Под. ред. С.С. Стивенса / Перевод с англ. под ред. действ. чл. АМН СССР П..К. Анохина, док. пед. наук В.А. Артемова. – М.: Иностранная литература, 1960. – Т. 1. – С. 19–92.
J. Green, M. D’Olivera. Learning to Use Statistical Tests in Psychology: a Student’s Guide. – Milton Keynes Philadelphia, Open University Press, 1989. – 180 p.)
Посібник адресовано студентам педагогічних університетів і аспірантам гуманітарних спеціаль-ностей.
1. Шкали й вимірювання
Вимірювання – це надання числових форм об’єктам чи подіям у відповідності з певними правилами. С. Стівенс1 запропонував розподілити
шкали вимірювання на 4 типи:
номінативна (номінальна) чи шкала назв;
порядкова або ординальна шкала;
інтервальна (шкала рівних інтервалів);
шкала рівних відношень (пропорцій).
Номінативна шкала – це шкала, яка класифікує за назвою (від. nomen (лат.) – ім’я, назва). Ця шкала – це спосіб класифікації об’єктів чи суб’єктів, розподілу їх на певні множини (класи). Ніякий частковий порядок множин не передбачається. В імовірнісному описі явища кожній номінативній шкалі відповідає сукупність попарно несумісних подій, об’єднання який є достовірною подією (простором всіх елементарних подій). Наприклад, або даний індивідуум є дальтоніком, або він не є дальтоніком. Номінативна шкала слугує для підрахунку частот відповідних подій. Одиниця вимірювання – одне спостереження.
Порядкова шкала – це спосіб розподілу об’єктів чи суб’єктів на певні множини, для яких можна встановити відношення (лінійного) порядку. Інакше кажучи, можна порівнювати довільні такі множини, встановлюючи відношення “більше” або “менше”. Очевидно, що для змістовної порядкової шкали потрібно не менше трьох класів. Наприклад, реакцію виборців на заяву кандидата у президенти можна назвати позитивною, нейтральною і негатив-ною з очевидним порядком. Класи порядкової шкали можна занумерувати елементами числової множини, на якій вже є певний порядок (наприклад, натуральними числами), причому безліччю способів. Тому відстань між цими числами на числовій прямій визначає “відстані” між елементами класів для порядкової шкали. Одиниця вимірювання – відстань в 1 клас (ранг).
Інтервальна шкала – це шкала класифікації за принципом “менше на певну кількість одиниць” і “більше на певну кількість одиниць”.
Шкала рівних відношень – це шкала класи-фікації пропорційно ступеню вираженості певної ознаки.
В імовірнісному описі явища кожній шкалі рівних відношень відповідає випадкова величина, яка вимірюється у стохастичному експерименті, причому мають зміст арифметичні операції (дода-вання, віднімання, множення й ділення) над результатами вимірювання. Такою є, наприклад, шкали вимірювання фізичних величин. Емпіричні частоти подій також можна розглядати в межах шкали рівних відношень.
2. Характеристики емпіричного розподілу
Нехай xj – результат j-го спостереження певної випадкової величини у серії n незалежних спостережень. Позначимо такі величини:
 – оцінка математичного сподівання;
 – оцінка дисперсії;
 – коефіцієнт асиметрії (міра відхилення емпіричного розподілу від симетричного відносно  );
 – показник ексцесу.
3. Статистичні гіпотези і критерії прийняття гіпотез
Гіпотеза – висловлювання про співвідношення між порівнюваними величинами, визначеними в результаті стохастичного експерименту.
Нульова гіпотеза Н0 – (як правило) гіпотеза про відсутність відмінностей між порівнюваними величинами.
Альтернативна гіпотеза Н1 – (як правило) заперечення нульової гіпотези Н0, тобто гіпотеза про значимість відмінностей між порівнюваними величинами. Як правило, це те, що ми прагнемо довести, тому її інколи називають експеримен-тальною гіпотезою.
Нульова і альтернативна гіпотези можуть бути одночасно
або спрямовані (Н0 = (a ≤ b), Н1 = (a > b)),
або не спрямовані(Н0 = (a = b), Н1 = (a ≠ b)).
Статистичний критерій – це алгоритм прийняття або відхилення гіпотез на основі статистич-них даних (статистик). Статистичні критерії розпо-діляють на:
параметричні, які використовують оцінки параметрів розподілу – математичного сподівання і дисперсії;
непараметричні, які не використовують оцінки параметрів розподілу.
Рівень значимості критерію — це ймовірність помилки І роду, тобто помилки відхилення нульової гіпотези Н0 за умови, що вона справджується. Історично склалися такі уявлення про низький, достатній і високий рівні статистичної значимості як такі, що не перевищують відповідно 0.05 (5 %), 0,01 (1 %) і 0,001 (0,1 %).
Потужність критерію – це ймовірність того, що не зроблено помилку ІІ роду, тобто ймовірність не прийняття нульової гіпотези Н0 за умови, що вона не справджується.
Порівняльну характеристику параметричних і непараметричних критеріїв подано у таблиці 15 додатку.
4. Класифікація задач і методів їх розв’язання
Розв’язання перерахованих далі задач проводять при відповідності критеріїв і умов дослідження, перерахованих у дужках після назв критеріїв.
Виявлення відмінностей на рівні дослід-жуваної ознаки:
2 вибірки – критерій Розенбаума Q (n1 ≥ 11, n2 ≥ 11, n1 ≈ n2), критерій Манна-Уітні (min (n1, n2) < 11) або φ*-критерій (кутове перетворення Фішера);
3 і більше вибірок – критерій тенденцій Джонкіра S (n ≤ 10 і с ≤ 6) або критерій Крускала-Уолліса H (n > 10 або с > 6).
2. Визначення зміщення досліджуваної ознаки:
2 вимірювання на одній і тій же вибірці – ^ -кри-терій знаків (якісні зміщення або кількісні зміщення у вузькому діапазоні), Т-критерій Вілкоксона (кількісні зміщення, які можна впорядкувати за інтенсивністю), або φ*-критерій (кутове перетворення Фішера);
3 і більше вимірюваннь на одній і тій же вибірці – χr2-критерій Фрідмана (n ≤ 12 і c ≤ 6) або L-критерій тенденцій Пейджа (n > 12 або c > 6).
Виявлення відмінностей у розподілі ознаки:
порівняння емпіричного і теоретичного розпо-ділів – χ2-критерій Пірсона (довільна шкала), λ-критерій Колмогорова-Смірнова (порядкова шкала) або m-біноміальний критерій (n 50, 2 розряди значень));
порівняння двох емпіричних розподілів – χ2-кри-терій Пірсона (довільна шкала), λ-критерій Колмогорова-Смірнова (порядкова шкала) або φ*-критерій (кутове перетворення Фішера, 2 розряди значень).
Виявлення ступеня узгодженості змін двох ознак чи двох ієрархій або профілів – rs-коефіцієнт рангової кореляції Спірмена.
Аналіз змін ознаки під впливом контрольо-ваних умов:
під впливом одного фактора – S-критерій тенденцій Джонкіра, L-критерій тенденцій Пейджа або однофакторний дисперсійний аналіз Фішера;
під впливом двох факторів – двофакторний дисперсійний аналіз Фішера.
5. Статистичні критерії
Критерії описано у тому ж порядку, в якому подано статистичні таблиці додатку.
Q-критерій Розенбаума.
Призначення: порівняння двох вибірок щодо рівня певної ознаки.
Обмеження: довжини вибірок n1 і n2 більші за 10. Гублер2 пропонує дотримуватися таких правил:
якщо n1 і n2 не перевищують 50, то |n1 – n2| не має перевищувати 10;
якщо n1 і n2 розташовані в межах від 51 до 100, то |n1 – n2| не має перевищувати 20;
якщо n1 і n2 більші за 100, то відношення max (n1, n2) / min (n1, n2) не має перевищувати 2.
Гіпотези:
Н0 – рівень ознаки у вибірці 1 не перевищує рівня ознаки у вибірці 2;
Н1 – рівень ознаки у вибірці 1 перевищує рівень ознаки у вибірці 2.
Алгоритм:
Перевірити допустимість використання критерію (див. обмеження).
Впорядкувати значення ознаки за зростанням у кожній вибірці.
Визначити M2 – найбільше значення ознаки у вибірці 2.
Визначити S1 – кількість значень вибірки 1, які більші за M2.
Визначити m1 – найменше значення ознаки у вибірці 1.
Визначити s2 – кількість значень вибірки 2, які менші за m1.
Обчислюємо Q = S1 + s2.
Якщо max (n1, n2) ≤ 26, то за таблицею 1 додатку визначаємо критичне значення Qρ для даних n1 і n2, інакше покладемо Q0,05 = 8, Q0,01 = 10.
Якщо Q ≥ Qρ, то відхиляємо гіпотезу Н0.
5.2. U-критерій Манна-Уітні
Призначення: порівняння двох вибірок щодо рівня певної ознаки з метою визначення, наскільки мала зона спільних значень. Чим менша така зона, тим ймовірніше, що відмінності достовірні. Існує кілька способів використання критерію і відповід-них варіантів таблиць критичних значень.
Обмеження: довжини вибірок n1 і n2 знахо-дяться в межах від 3 до 60.
Гіпотези:
Н0 – рівень ознаки у вибірці 2 не нижче рівня ознаки у вибірці 1;
Н1 – рівень ознаки у вибірці 2 нижче рівня ознаки у вибірці 1.
Алгоритм:
Дані вимірювань об’єднуємо в один масив довжини n = n1 + n2 , помітивши, які величини якої вибірки стосуються.
Впорядковуємо утворений масив величин за зростанням.
Кожному результату вимірювання припису-ємо ранг – номер відповідного елемента впорядко-ваного масиву. Якщо кілька вимірювань мають один і той же результат, то всім їм приписуємо ранг, що є середнім арифметичним номерів відповідних елементів впорядкованого масиву. Таким чином, сума рангів усіх результатів вимірю-вання дорівнює n (n + 1) / 2.
Визначаємо за даними вибірок:
T1 і T2 – суми рангів відповідно для вибірок 1 і 2;
Т = max (T1, T2) і номер вибірки x з максимальною сумою рангів – Тx = max (T1, T2);
U = n1∙n2 + nx (nx+1) / 2 – Tx .
Деякі автори рекомендують визначати
U = max (n1∙n2 + n1 (n1 + 1) / 2 – T1,)
n1∙n2 + n2 (n2 + 1) / 2 – T2).
Визначаємо за таблицею 2 додатку критичнy величину Uρ (для ρ = 0,05 або ρ = 0,01).
Якщо U ≥ Uρ , то приймаємо гіпотезу Н0. Чим менша величина U, тим вища вірогідність відмін-ностей.
|
